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对称矩阵可以正交对角化
实
对称矩阵
一定
可正交对角化
吗?
答:
不一定
。实对称矩阵一定可对角化,且可正交对角化,先求特征值,如果没有相重的特征值,所有特征根都不相等,那么可以对角化。如果有相重的特征值λk。其重数为k,那么通过解方程(λkE-A)X=0得到的基础解系中的解向量若也为k个,则A可对角化,若小于k,则A不可对角化。
为什么实
对称矩阵
A一定
可正交
相似
对角化
呢?
答:
1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。2、实对称矩阵A的特征值都是实数,特征向量都是实向量
。3、n阶实对称矩阵A必可对角化,且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。4、若λ0具有k重特征值,必有k个线性无关的特征向量,或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k,其中E为单位矩阵。5...
实
对称矩阵
一定
可以正交对角化
吗
答:
因此实
对称矩阵
一定
可以
通过
正交对角化
得到一个
对角矩阵
,而且这个对角矩阵的对角元就是实对称矩阵的特征值。
什么是
对称矩阵
的
对角
线化?
答:
对称矩阵可以被对角化为对角矩阵的充分必要条件是存在一个正交矩阵P
,使得P^{-1}AP = \Lambda,其中\Lambda是以矩阵A的特征值构成的对角矩阵。这个条件表明,对称矩阵A可以被对角化,而且这个对角化矩阵是由A的特征值构成的。其中,P是一个正交矩阵,它满足P^T P = P P^T = I,其中I是单位矩...
实
对称矩阵
一定
可以正交对角化
吗
答:
该矩阵不一定正交对角化
。实对称矩阵可以直接用一般矩阵的方法求其对角阵,即可以不用正交单位化,直接用p逆Ap=A的对角阵来做,用正交阵来对角化就是单纯为了体现这个方法而已。可正交对角化的充分条件是A是实对称矩阵,即若A是实对称矩阵则A必可正交对角化。比如正交单位化后,要求p逆只需要将p转置...
为什么实
对称矩阵
的相似
对角化
要用
正交矩阵
?
答:
对称矩阵
也
可以
用一般的由特征向量组成的非奇异阵做
对角化
,只不过它有特殊的性质(对称),因此我们就可以考虑特殊的对角化,也就是正交相似对角化。这么做有好处:
正交矩阵
的逆矩阵很容易求,就是它的转置,不像一般的可逆阵需要半天才能求出来。如果是一个1000*1000的矩阵求逆,那要多长时间才能做完...
实
对称矩阵
的相似
对角化
要用
正交矩阵
吗?
答:
因为实
对称矩阵
是特殊的矩阵。他的特点就是
可以正交对角化
(一般的矩阵只能相似对角化)即把特征向量组成的矩阵再进行斯密特
正交化
以及单位化 这样做的目的是使得P的逆矩阵AP=P的转置矩阵AP,即P的逆矩阵=P的转置矩阵。如果不进行正交化和对角化 则只是P的逆矩阵AP=B 即A B相似。
一定非要是
正交
阵才能做
对角
阵与
对称
阵相似的相似变换
矩阵
吗?
答:
当然不一定 实
对称矩阵可以正交对角化
这个定理的意思是说不仅存在P使得P^{-1}AP=D,并且还可以额外地找到正交阵P来实现对角化,但并不是说这里的P只能是正交阵 一个简单的例子 A= 41 12 12 34 D= 25 0 0 50 你可以取正交阵 P= 3/5 4/5 -4/5 3/5 来实现对角化P^{-1}AP=D 当...
实
对称矩阵
为什么一定
可以对角化
?
答:
不仅可以对角化,还
可以正交对角化
。证明很容易,任取一个单位特征向量x满足Ax=cx,x'x=1,把x张成正交阵Q=[x,*],那么 Q'AQ= c 0 0 对右下角归纳即可。
只有实
对称矩阵可以
用
正交矩阵对角化
吗
答:
直接用可逆矩阵当然也
可以
,求出各特征向量后不做Schmidt
正交化
即可。之所以使用
正交矩阵
,代数上是因为此时相似也是相合,有更好的性质(如有惯性定理);几何上则代表更好的线性变换:把标准正交基仍变成标准正交基。结果更好,运算量也没增加多少,何乐而不为呢 ...
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