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对角化与正交对角化
通俗易懂:
正交对角化
答:
一、相似、
对角化与正交对角化
的联系与差异在实数矩阵的天地里,相似矩阵、
对角化和正交对角化
是三个相关但各有特色的概念。相似矩阵与对角化通过变换联系,而正交对角化则更进一步,专属于对称矩阵的特性。通过矩阵分解,它们的联系和差异清晰可见:相似矩阵: 由原式 相似矩阵 = P^-1AP 演变而来,体现...
正交对角化
是什么意思?和普通的对角化又啥区别?
答:
正交对角化
要求变换矩阵是正交矩阵,即在求特征值特征向量后要进行施密特
正交化
。一般对角化无需施密特正交化,只要求出对应于特征值的特征向量即可。将对称矩阵正交对角化的方法:1、求出对称矩阵A的特征值;2、由(AE )x= 0 ,求出矩阵A对应的特征的特征向量;3、将属于的特征向量施密特正交化;4、...
正交
矩阵相似
对角化
;可逆矩阵相似对角化;可对角化;这三者有什么区别...
答:
正交
对角化
要求 P 是正交矩阵, 即P可逆且 P^-1 = P^T。即是相似变换又是合同变换, 用于二次型。可逆矩阵相似对角化。一般考虑的是方阵, 并不要求方阵可逆, 要求 P 可逆。可对角化就是A可相似对角化, 即存在可逆矩阵P使得 P^-1AP = 对角矩阵。
可
对角化
的矩阵一定可对角化吗?
答:
不一定。实对称矩阵一定可
对角化
,且可
正交对角化
,先求特征值,如果没有相重的特征值,所有特征根都不相等,那么可以对角化。如果有相重的特征值λk。其重数为k,那么通过解方程(λkE-A)X=0得到的基础解系中的解向量若也为k个,则A可对角化,若小于k,则A不可对角化。
实对称矩阵一定可以
正交对角化
吗
答:
该矩阵不一定
正交对角化
。实对称矩阵可以直接用一般矩阵的方法求其对角阵,即可以不用正交单位化,直接用p逆Ap=A的对角阵来做,用正交阵来对角化就是单纯为了体现这个方法而已。可正交对角化的充分条件是A是实对称矩阵,即若A是实对称矩阵则A必可正交对角化。比如正交单位化后,要求p逆只需要将p转置...
刘老师,有两个线性代数的问题想请教您。
答:
第一个问题:一般默认“相似对角化”可以简称“对角化”,而“合同对角化”就叫“合同对角化”。第二个问题:感觉你说的应该是”
正交对角化
“,指的是用正交矩阵进行相似对角化。第三个问题:是的,正交对角化的过程既是合同对角化,也是相似对角化的过程。如果矩阵可以正交对角化,它一定可以相似对角化...
对方阵
对角化和
实对称矩阵利用
正交
矩阵对角化的不同
答:
对于实对称矩阵而言,一定能进行
对角化
,且能够进行施密特
正交化
。而对普通方阵,不一定能对角化,即使能对角化也不能进行施密特正交化
实对称矩阵一定可以
正交对角化
吗
答:
根据
正交对角化
的定义,可以将实对称矩阵通过一个正交矩阵相似变换,得到一个对角矩阵,这个正交矩阵的列就是实对称矩阵的特征向量,而对角矩阵的对角元就是实对称矩阵的特征值,因此实对称矩阵一定可以通过正交对角化得到一个对角矩阵,而且这个对角矩阵的对角元就是实对称矩阵的特征值。
矩阵如何
对角化
,需要哪些条件?
答:
对角化的前提是A存在n个线性无关的特征向量,n阶单位矩阵的所有特征值都是1,但是它仍然有n个线性无关的特征向量,因此单位矩阵可以对角化。实对称矩阵总可对角化,且可
正交对角化
。对于一个矩阵来说,不一定存在将其对角化的矩阵,但是任意一个n×n矩阵如果存在n个线性不相关的特征向量,则该矩阵可...
什么是
正交对角化
,
答:
将对称矩阵
正交对角化
的方法:1.求出对称矩阵A的特征值;2.由(AE )x= 0 ,求出矩阵A对应的特征的特征向量;3.将属于的特征向量施密特
正交化
;4.将所有特征向量单位化.
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