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求可逆矩阵PQ使得PAQ为B
设A、
B
均为n阶可逆矩阵,证明存在
可逆矩阵P
、Q,
使得PAQ
=B
答:
因为A,B可逆, 所以存在可逆矩阵P1,P2,Q1Q2 满足 P1AQ1 = E P2BQ2 = E 所以 P1AQ1 = P2BQ2 所以 P2^-1P1AQ1Q2^-1 = B 令 P = P2^-1P1, Q = Q1Q2^-1 即有
PAQ
=B.
为什么矩阵A与B等价的充分必要条件是存在
可逆矩阵P
和Q,
使PAQ
=
B
答:
因为
矩阵
A与B等价的充要条件是A可以经过有限次的初等行变换与有限次的初等列变换化
为B
,所以只需说明
PAQ
=B与经过有限次的初等行列变换把A化为B是一回事。事实上,
P可逆
⇔P可以写成有限个初等矩阵的乘积:P=E1E2…Ei;同样
Q可逆
⇔Q可写成有限个初等矩阵的乘积:Q=F1F2…Fj.这样 PAQ...
求可逆矩阵PQ
,
使得PAQ
=B?
答:
对于
PAQ=B
的题目 实际上就是相似
矩阵
的问题 这里即A和B等价 那么A经过初等变换就可以得到
B PQ
都是
可逆矩阵
分别表示初等行变换和列变换的做法
设A
B
为n阶矩阵,且r(A)=r(B),则存在可你
矩阵P Q
,
使PAQ
=B怎么证明?
答:
秩相等不一定相似 所以 "存在
可逆矩阵P
,使得P^-1AP=B不对"因为A,B的秩相等, 所以它们的等价标准形相同 即A,B都与 H= Er 0 0 0 等价 即存在可逆矩阵使得 P1AQ1 = H = P2BQ2 所以 P2^-1P1AQ1Q2^-1 = B 令 P= P2^-1P1, Q = Q1Q2^-1 则有 PAQ=B....
设A
B
为n阶矩阵,且r(A)=r(B),则存在可你
矩阵P Q
,
使PAQ
=B怎么证明?
答:
秩相等不一定相似 所以 "存在
可逆矩阵P
,
使得P
^-1AP=B不对"因为A,B的秩相等,所以它们的等价标准形相同 即A,B都与 H= Er 0 0 0 等价 即存在可逆矩阵使得 P1AQ1 = H = P2
BQ
2 所以 P2^-1P1AQ1Q2^-1 = B 令 P= P2^-1P1,Q = Q1Q2^-1 则有
PAQ
=B.
存在
可逆矩阵P
.
Q使PAQ
=
B
那么P,Q是初等矩阵吗?
答:
存在
可逆矩阵P
.
Q使PAQ
=
B
那么P,Q是初等矩阵吗?P,Q不一定是初等矩阵,但 它们是初等矩阵的乘积。
证明:矩阵A~
B
的充要条件是存在
可逆矩阵P
,
Q使得PAQ
=B
答:
充分性:因为P、
Q可逆
,所以 P,Q可以分解成若干个基本初等
矩阵
的积,所以A~B 必要性:因为A~B,所以A经过若干次初等行列变换后成为B,即
PAQ
=
B
,(P、Q可逆)
命题:若
矩阵
A和B等价,则A的行向量组与B的行向量组等价.为什么错了...
答:
矩阵A,
B
等价存在
可逆矩阵P
,
Q使得 PAQ
=B A的行向量组与B的行向量组等价存在可逆矩阵P使得 PA=B 两者的区别是:一个是用初等变换,行和列变换; 一个是只用初等行变换.所以,若A的行向量组与B的行向量组等价,则矩阵A和B等价 (此时Q=E).但反之不对.
线性代数等价问题
答:
A和
B
等价:存在
可逆阵P
,
Q使得PAQ
=B A和B行等价:存在可逆阵P使得PA=B A和B列等价:存在可逆阵Q使得AQ=B 你给的例子行等价(显然蕴含了等价)但不是列等价,就这么回事
线性代数 两个同型
矩阵
等价的充要条件是两个矩阵的秩相等。这个是对的...
答:
对的。矩阵等价的定义:若存在
可逆矩阵P
、Q,
使PAQ
=B,则A与B等价。所谓矩阵A与
矩阵B
等价,即A经过初等变换可得到B。充分性:经过初等变换,秩是不改变的,即R(A)=R(PAQ)=R(B)。必要性:设R(A)=R(B)=m,则A经过初等变换一定能化成最简型矩阵,这个最简型矩阵记作C。 C的秩为m。
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