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求酉矩阵使得QAQ对角矩阵
如何通过构造一个
酉矩阵
让任一个矩阵块
对角
化
答:
先
求矩阵
的特征值 然后解特征方程,得到特征向量,然后施密特正交化,即可得到一个
酉矩阵
如何去构造一个
酉矩阵
?
答:
首先,我们要找到矩阵的基础——一个 n x n 的正交矩阵。这个矩阵的列向量是单位向量,且彼此正交,这为后续操作奠定了关键基础。接着,进入第二步,我们要随机生成 n 个独立的实数,然后用它们构造一个
对角矩阵
。这个对角矩阵的元素就是我们之前随机选择的数,它们各自独立且决定矩阵的特殊性质。然后...
求一个正交矩阵P,
使
P^-1AP为
对角矩阵
,其中 A= 第一行4 0 0 第二行0...
答:
矩阵
A的特征值为λ1=λ2=4,λ3=2。将λ1=λ2=4代入(λ1E-A)X=O,把系数矩阵化成行最简形,过程如图。x2是阶梯头,因此令x1=t1,x3=t2,求出通解并表示成向量的形式,从而得到特征向量ξ1和ξ2。同理将λ3=2代入(λ3E-A)X=O中,求出特征向量ξ3=[0,-1,1]T。待求的矩阵P=...
酉
表示的
矩阵
能
对角
化吗?
答:
可以。1、
幺正矩阵
表示的就是厄米共轭矩阵等于逆矩阵。对于实矩阵,厄米共轭就是转置,所以实正交表示就是转置矩阵等于逆矩阵。实正交表示是幺正表示的特例。2、在
酉对角
化中,这个矩阵需要是一个
酉矩阵
。酉矩阵的列向量为一组标准正交基,所以其必然可逆。而可逆矩阵的列向量之间没有酉矩阵这么多限制。
正规阵的特征值全为实数吗?
答:
并不一定,虽然可以证明一定存在一个
酉矩阵
,
使得
正规矩阵乘以该酉矩阵化为
对角矩阵
,但是要注意,这里的对角矩阵并没有告诉你是实对角矩阵.而且可以很轻松的举一个反例就可以说明正规阵的特征值可能不是实数.设A为正规阵,则必存在一个酉矩阵U,使得A*U=B,B为一个对角阵.同时我们注意到,所有的酉矩阵都...
设A,B均为半正定
矩阵
,证明A,B可同时合同
对角
化
答:
因为A,B半正定 所以A+B半正定 所以存在可逆矩阵P,
使
P'(A+B)P=diag(I,0)(P'指P的转置)所以P'AP=diag(S,0),P'BP=diag(T,0),其中S+T=I且S,T半正定 所以存在
酉矩阵
U,使U'SU为
对角矩阵
,此时U'TU=I-U'SU也是对角矩阵 令Q=Pdiag(U,I),此时有Q'AQ和Q'BQ均为对角矩阵 ...
...矩阵,切AB=BA。则存在
酉矩阵
V,
使
与C,D都是
对角
阵?C,D见下图。_百度...
答:
AB=BA可以推出A和B可以同时
酉
上三角化,即V^HAV和V^HBV都是上三角阵 注意到V^HAV和V^HBV仍然是正规阵,而上三角的正规阵只能是
对角
阵(见下面的链接),所以结论成立 http://zhidao.baidu.com/question/1604300797120441987.html
几种特殊的复
矩阵
(一)
答:
不仅如此,由于 是
酉矩阵
,我们得知 的模为1,这意味着它是单位复数。而两个酉矩阵的乘积依旧保持酉性质,且 的列向量组构成的标准正交基 是它作为酉矩阵的标志。进而,我们引入了 酉相似和对角化。如果矩阵 通过酉矩阵 可以变换为
对角矩阵
,我们称它们是酉相似的。这是相似性的一种特殊形式,它同样...
(线性代数笔记)6.4埃尔米特
矩阵
答:
进一步,若A是实对称矩阵,其特征值仍为实数,且可由酉矩阵进行对角化。一个关键定理——舒尔定理表明,对于任何矩阵,总能找到一个
酉矩阵使得
A = Q * Λ * Q^H,其中Λ是
对角矩阵
,这是A的实舒尔分解。对于实矩阵,若其特征值不重叠,我们可以进一步推导出存在一个正交矩阵O,使得A = O * Λ...
...存在n阶
酉矩阵
U
使得
U^H AU与u^H BU均为
对角矩阵
的充分必要条件是AB=...
答:
则Bu也是应于特征值a一个特征向量【因为 A(Bu)=BAu=Bau=aBu】 所以A的特征子空间是B-不变的,所以可以把B限制在A的特征子空间上,那么它们就有一个公共的特征向量,归纳法,可以得到结论:A,B可以同时上三角化,又因为A,B是Hermite
矩阵
,因此他们可以
对角
化,因此他们可以同时对角化 ...
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