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矩阵的秩方阵
为什么
矩阵的秩
一定等于
方阵
的阶数?
答:
系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后,不全为零的行数r(即
矩阵的秩
)小于等于m(矩阵的行数),若m<n,则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元,这个n-r个自由变元可取任意取值,从而原方程组有非零解(无穷多个解)。对有解方程组求解,并决定解的结构。这几个问题均得到完满解决:...
什么是
矩阵的秩
?
答:
矩阵的秩
和特征值之间的关系是:秩等于非零特征值的个数,如果所有特征值都不为零,则秩等于矩阵的维度。具体的关系还取决于特征值是否重复。矩阵的秩与其特征值之间存在一定的关系。下面是一些常见情况:1.对于一个n×n的
方阵
,它的秩等于非零特征值的个数。换句话说,秩就是特征值不为零的数量。...
什么是
方阵
行满
秩
,列满秩?
答:
若
矩阵秩
等于行数,称为行满秩;若矩阵秩等于列数,称为列满秩。既是行满秩又是列满秩则为n阶矩阵即n阶
方阵
。行满秩矩阵就是行向量线性无关,列满秩矩阵就是列向量线性无关;所以如果是方阵,行满秩矩阵与列满秩矩阵是等价的。
为什么
方阵
的伴随
矩阵的秩
小于等于n?
答:
一个
方阵
与其伴随
矩阵的秩
的关系:(1)当r(A)=n时,|A|≠0,所以|A*|≠0,所以r(A*)=n;(2) 当r(A)=n-1时,|A|=0,但是矩阵A中至少存在一个n-1阶子 式不为0(秩的定义),所以r(A*)大于等于1(A*的定义);为了证明r(A*)=1,下面证明 r(A*) 小于等于1 这里利用公...
矩阵的秩
与特征值之间有什么关系?
答:
秩
与特征值的关系如下:秩是
矩阵的
一个重要属性,它表示矩阵中非零元素的个数。对于一个
方阵
,其秩等于其行数或列数,即r(A) = n 如果 A 是 n × n 方阵。特征值是矩阵另一个重要的属性,它表示矩阵在特定方向上的放大倍数。即如果 A 是方阵,则它的特征值 λ 是满足 Ax = λx 的标量...
如果一个矩阵是
方阵
,求这个
矩阵的秩
?
答:
当A是
方阵
的时候,不妨设A为n行n列 (1)当A
的秩
等于n时,方程AX=B有唯一解。(2)当A的秩大于n时,方程AX=B有无穷多个解。当A不是方阵的时候,不妨设A为m行n列 (1)当m<n时,方程AX=B有无穷多个解。(2)当n<m时,只有当
矩阵
A的秩小于或者等于n时,方程AX=B有解。
矩阵的秩
的性质
答:
方阵
(行数、列数相等的矩阵)的列秩和行秩总是相等的,因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A),rk(A)或 。m × n
矩阵的秩
最大为m和n中的较小者,表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩;类似的,否则矩阵是秩不足(或称为“欠秩”)的。设A是一组向量,定义...
矩阵是满秩的一定是
方阵
吗?满
秩矩阵
是什么意思?
答:
若行列式不为零,它就一定是满秩
矩阵的
,通过反证法证明,若矩阵是不满秩的,那它的n个行向量线性相关,由行列式的计算方法,此行列式
的秩
必为0。n阶
方阵
A满秩,就是A的秩为n,则A有一个n阶子式不等于0,因为A只有一个n阶子式,即其本身,所以|A|≠0。设A是n阶矩阵, 若r(A) = n,...
矩阵的秩
和矩阵的特征值个数的关系,并证明
答:
1、
方阵
A不满秩等价于A有零特征值。2、A的秩不小于A的非零特征值的个数。证明:定理1:n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。定理2:设A为n阶实对称矩阵,则A必能相似对角化。定理3:设A为n阶实对称矩阵,
矩阵的秩
r(A)=k,(0<k<n,k为正整数),则λ=0恰...
矩阵
三
秩
相等一定是
方阵
吗?
答:
矩阵三秩相等必须是
方阵
。三秩相等是矩阵的列向量组的秩(简称列秩)、行向量组的秩(简称行秩)和通过子式定义的秩k阶子式是指一个m×n的矩阵中任取k(k<=m,k<=n)。行k列拼起来构成的新矩阵的行列式,
矩阵的秩
等于其阶数最大的非零子式的阶数相等。对一个n行n列的非零矩阵A,如果存在...
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