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群同态基本定理证明
同态基本定理
答:
同态基本定理 定义1
设φ是群G到群G̅的群同态,G̅的单位元在φ下的所有原象作成的集合,称为φ的核,记为Kerφ
。 群G的所有元素在φ下的像作成的集合,称为φ的像集,记作Imφ ,或φ(G).同态基本定理 定理2 设φ是群G到群G̅的一个满同态. 则 N=Kerφ⊴G...
Z是整数加群,用群的
同态基本定理证明群同构
2Z/6Z和Z/3Z
答:
(1)f是群的同态:f(a+b)=2(a+b)+6Z=2a+2b+6Z=f(a)+f(b)
,f(-a)=-2a+6Z=-f(a);(2)f是满射:显然;(3)ker(f)={a|2a属于6Z}={a|6整除2a}={a|3整除a}=3Z.所以由同态基本定理知Z/ker(f)同构于im(f),即Z/3Z同构于2Z/6Z ...
抽象代数——群(2)——
同态
与
同构
答:
两个重要的定理,定理1和定理2,阐述了
群同态
关于核和像的性质,它们是群论中的基石。定理3,即
同态基本定理
,更是群论的基石,它揭示了群同态的本质联系。通过进一步的
证明
,如Cayley定理,我们得知任何群都与某个集合上的变换
群同构
,这是群论中的重要突破。当我们将视线聚焦到有限群时,Cayley定理为...
正规子群的
同态基本定理
答:
任何群同态σ:G→G' 的核Ker σ 都是G的正规子群
。(同态基本定理) 商群G/Ker σ≌Im σ.利用群同态的核构造正规子群是一种常用方法。
如何研究关于群的
定理
?
答:
练习证明技巧:证明群定理需要一定的逻辑推理和抽象思维能力
。通过大量的练习,提高证明技巧,这对于研究群论至关重要。研究群的作用:群作用是群论中的一个核心概念,它将群与集合联系起来。通过研究群在不同集合上的作用,可以揭示群的结构性质。探索群的应用:群论在数学的其他领域以及物理学、化学、...
同构基本定理
的提出定理
答:
同构基本定理
最早由埃米·诺特(Emmy Noether)在她于1927在德国数学期刊数学分析(Mathematische Annalen)发表的论文Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern中明确阐述。 叙述:如果f是群G到群H的一个
群同态
,则f的核(kernel)K是G的正规子群; 商群G/...
【抽象代数】1. 群的定义与
基本
性质
答:
它们挑战我们去质疑常规,验证逆命题的真伪,通过实践来深化理解。后续我们将探讨子群、陪集等深奥主题,以及Lagrange
定理
、
群同态
这些激动人心的发现。 群的瑰丽世界 从整数加群的简单加法到非零实数乘法群的优雅旋转,再到矩阵群的复杂变换,群的形态千变万化。对称群、置换群和图形对称群则揭示了自然...
群论有什么用啊?
答:
群论,是数学概念。在数学和抽象代数中,群论研究名为群的代数结构。群在抽象代数中具有
基本
的重要地位:许多代数结构,包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现,而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。群论的重要性还体现...
近世代数理论基础21:环的
同态
与
同构
答:
证明
:注:1.R的任一同态像在同构的意义下都是R的一个商环 2.理想在环中的地位与正规子群在群中的地位是平行的 例:1.设 ,其中的加法和乘法定义为: , ,则 关于加法和乘法作成一个环 设 ,则 是一个满同态映射,同态的核 由
同态基本定理
,2.设 是环R到 的满同态, 是 的...
抽象代数——单群与可解群、合成群列
答:
交错群的单性揭示- 当我们步入非Abel群的世界,交错群展现出其独特的单性。通过巧妙的3轮换技巧,我们可以
证明
交错群的单性,这是群论中的一个关键点。可解群的定义与特性- 可解群的定义更为严谨,它要求存在一个正整数n,使得群的级导群可以分解为一系列Abel群的直积。这个性质不仅决定了群的结构...
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