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设a为n阶方阵,且a^2=a
设A为n阶方阵,且A^2=A
,证明(A+I)^m=I+((2^m)-1)),其中m为正整数?
答:
证:∵A^2=
A
∴对于任意正整数k,A^k=A 根据二项式展开【C(n,k)代表组合数】(A+I)^m =C(m,0)[A^m]+C(m,1)[A^(m-1)]+C(m,2)[A^(m-2)]+……+C(m,m)[I]=C(m,0)[A]+C(m,1)[A]+C(m,2)[A]+……+C(m,m-1)[A]+C(m,m)[I]=[C(m,0)+C(m,1)...
设A为n阶方阵,且
A2
=A
,证明:若A的秩为r,则A-E的秩为n-r,其中E是n阶单位...
答:
因为:A2
=A,
所以:A(A-E)=0,则:r(A)+r(A-E)≤
n,
又因为:r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n,所以:r(A)+r(A-E)=n,则:r(A-E)=n-r,证毕.
设a为n阶方阵,且
满足
a^2=a
。证明:r(a-e)+r(a)=n,其中e是n阶单位矩阵...
答:
因为A*A
=A,
所以A(A-E)=0;故A-E的每个列向量都是方程Ax=0的解;由于A-E中的列向量未必构成解空间的基,所以R(A)+R(A-E)小于等于
n
;又由R(A)+R(B)>=R(A+B);可得R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)>=R(A+E-A)=R(E)=n;所以R(A)+R(A-E)=n。
设A是n阶方阵,且A^2=A
,则必有( )。
答:
排除法呀!首先不妨
设A为
单位矩阵 bd排除 再次不妨设A=0 则A的秩为零故而排除A,所以答案是C 其实这个可以根据数学推到严格证明,限于篇幅不再介绍,估计你也不会需要,呵呵!(百度写数学公式真麻烦,错了应该是搜狗拼音)
设A为n阶方阵,
证明:(1)若
A^2=A
,则r(A)+r(A-E)=n (2)若A^2=E,则r(A...
答:
这里边用到两个结论:r(A+B)<=r(A)+r(B)对任意的
n阶方阵
A,B成立。若AB=0,则r(A)+r(B)<=n,其中A,B是n阶方阵。第一个不等式在任何线代数上都有。第二个一般的也有,你也可以自己证明。1、A(A-E)=0,于是n>=r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)>=r(A+E-A)=r(E)=n。
设A是n阶方阵
且满足
A^2=A
则A的特征值只能为?
答:
设a是
A的特征值则
a^2
-a是
A^2
-A的特征值参考:向左转|向右转而A^2-A=0,零矩阵的特征值只能为0所以a^2-a=0所以a(a-1)=0所以a=0或a=1.故A的特征值只能为0或1.
设A是n阶方阵,且A
的平方等于A,证明A+E可逆
答:
假
设A
+E不可逆,则|A+E|=0 所以-1是A的一个特征值 设ξ是属于-1的一个特征向量 则A^2ξ = A(-ξ) = -Aξ = ξ 但
A^2=A
所以A^2ξ = Aξ = -ξ 矛盾
设A是n阶方阵
且满足
A^2=A
则A的特征值只能为?
答:
设a是
A的特征值则
a^2
-a 是
A^2
-A 的特征值参考:而 A^2-A=0, 零矩阵的特征值只能为0所以 a^2-a=0所以 a(a-1)=0所以 a=0 或 a=1.故 A的特征值只能为0或1.
设n阶方阵A
满足
A^2=A,
则A与A-E不同时可逆。请问为什么?
答:
A是
可逆矩阵的充分必要条件是︱A︱≠0(
方阵A
的行列式不等于0)。若A²
=A,
那么A²-A=0,即A(A-E)=0;所以A与A-E中必有一个为零矩阵,即他们不能同时可逆。为什么A(A-E)=0,则|A(A-E)|=0?因为A(A-E)=0 两边同时取行列式:所以|A(A-E)|=|0|=0 欢迎追问 ...
设A为n阶方阵,且
A2
=A
,则R(A)+ R(A- E) =
答:
解:根据秩的不等式:R(A)+R(A-E) -
n
≤ R[A(A-E)]=R(A^2-A)又因为:
A^2=A,
即A^2 - A =0(零阵)因此:R(A)+R(A-E) -n ≤ R[A(A-E)]=R(A^2-A) = 0 即:R(A)+R(A-E) ≤ n 又易知R(E-A)=R(A-E),则:R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A) ≥...
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