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可逆矩阵的秩关系
设A为m×n矩阵,C是n阶
可逆矩阵
,矩阵A
的秩
为 r1,矩阵B=AC的秩为r,则
答:
矩阵与
可逆矩阵的
乘积,其秩不变。也就是AC
的秩
=A的秩 所以C,r=r1
等价
矩阵秩的关系
如何分析?
答:
等价
矩阵的秩
的
关系
分析是一个涉及到线性代数中矩阵理论的重要课题。首先,我们需要明确什么是等价矩阵以及它们的秩。两个矩阵A和B被称为等价的,如果存在两个
可逆矩阵
P和Q(即它们都是方阵,并且它们的行列式不为零),使得PAQ = B。这里,P是左乘矩阵A的,而Q是右乘矩阵A的。等价关系在矩阵中是一...
矩阵
经过初等变换后
秩
会改变吗?
答:
不会改变。做初等变换相当于改原矩阵乘以一个
可逆矩阵
,而乘可逆矩阵是不会改变其秩的。矩阵的行初等变换不改变
矩阵的秩
,且不改变列向量间的线性
关系
;矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系。即:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。两个矩阵相等是指:1、两个对应矩阵要求同型(...
线性相关和
矩阵
P
可逆的关系
?
答:
矩阵P可逆说明P是满秩,也就是说P的行列式不等于0。列向量中没有哪一个可以由其他向量线性表示,即列向量线性无关。P可逆,列(行)向量线性无关,P行列式不等于0,P满秩,P的特征值都不为0,这几个是等价命题。
矩阵可逆
,则秩=行向量个数=列向量个数。
矩阵的
行向量组
的秩
等于行向量的个数...
矩阵的秩
与特征值之间有什么
关系
?
答:
秩和特征值之间存在一定的
关系
。具体来说,如果一个
矩阵的秩
为 r,则它一定有 r 个非零特征值,且其余 n-r 个特征值均为零。这个结论可以由矩阵的初等因子的性质得出。初等因子是矩阵的若尔当分解的乘积,每个初等因子的形式为 P(lambda)Q,其中 P 和 Q 是
可逆矩阵
,lambda 是特征值。具体来说...
为什么
矩阵可逆
,它的行向量组就线性无关,列向量组也线性无关
答:
P的特征值都不为0,这几个是等价命题。
矩阵可逆
,则秩=行向量个数=列向量个数。
矩阵的
行向量组
的秩
等于行向量的个数,所以行向量组线性无关。同理,列向量组线性无关。判断或证明 可逆的常用方法:①证明 ;②找一个同阶矩阵 ,验证 ;③证明 的行向量(或列向量)线性无关。
可逆矩阵的
逆矩阵的秩
是多少?
答:
(3)零矩阵是不可逆的,即取不到B,使OB=BO=E[3]。(4)如果A可逆,那么A的逆矩阵是唯一的[3]。事实上,设B、C都是A的逆矩阵,则有B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C[3]。A的逆矩阵记为,即若AB=BA=E,则[3]。
可逆矩阵
还具有以下性质[4]:(1)若A可逆,则A-1亦可逆,且(A-1)-1=A[4...
A与
可逆矩阵
相乘不改变
秩
的证明
答:
两种方法 1. 利用初等变换不改变
矩阵的秩
因为
可逆矩阵
可以表示为初等矩阵的乘积 而A乘初等矩阵相当于对A作初等变换 所以A的秩不变 -- 这个方法包括了可逆矩阵左乘A,右乘A,或是左右同时乘A 2. 利用 r(AB)<= min{r(A),r(B)} 一方面有 r(PA) <= r(A)另一方面 r(A) = r(P^-1PA...
矩阵的秩
不为0,矩阵一定
可逆
吗?
答:
n阶矩阵(方正)的行向量或列向量线性无关,则
秩
等于n,所以
矩阵的
行列式不等于0,
矩阵可逆
。计算过程:n×n的实对称矩阵A如果满足对所有非零向量 ,对应的二次型 若 ,就称A为正定矩阵。若 则A是一个负定矩阵,若 ,则n阶矩阵(方正)的行向量或列向量线性无关,则秩等于n,所以矩阵的行列式...
两
矩阵
相乘
的秩
的性质
答:
秩。如果 C是秩 m的 l× m矩阵,则 CA有同 A一样的秩。A的秩等于 r,当且仅当存在一个
可逆
m× m矩阵 X和一个可逆的 n× n矩阵 Y使得 这里的 Ir指示 r× r单位矩阵。证明可以通过高斯消去法构造性地给出。
矩阵的秩
加上矩阵的零化度等于矩阵的纵列数(这就是秩-零化度定理)。
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