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怎么证明A矩阵可逆
线性代数应该
怎么
学习呢?
答:
任给X≠0,因A正定,故XTAX>O,又XT(一B2)X=XTBTBX=(BX)TBX≥0. 故有XT(A-B2)X=XT(A+(-B)B)X=XT(A+BTB)X=XTAX+(BX)TBX>O. 所以A-B2是正定阵. 变式(1) 已知A是n阶正定阵,B是n阶反对称阵.
证明A
-B2是
可逆
阵.v这个变式要求证明A-B2可逆,但已知A正定.为了利用已知条件,还可以想到A-B2...
设n阶
矩阵A
满足A(的平方)-A-2E=0,
证明A
及A+2E都
可逆
,并求出这两个逆矩...
答:
移项:
A
^2=A+2E 两边同乘以A^(-2)就得到:E=(A+2E)^A*(-2)
怎么样
将任一个
可逆矩阵
分解为一个正交矩阵和一个正定矩阵之积?
答:
令A'A=S"('表示转置,"表示平方),那么知S正定(且S=S'),有A=(A')-1*S"=(A')-1*S*S。下面
证明
Q=(A')-1*S正交 有QQ'=(A')-1*S*S'*(A)-1=(A')-1*(A'A)*(A)-1=E
线性代数-关于相似
矩阵
的定理
证明
答:
首先,方阵A可以在复数域上上三角化,即存在
可逆矩阵
P和上三角阵T使得 P^{-1}AP=T 然后A-λI=P(T-λI)P^{-1},所以(A-λI)x=0解空间的维数和(T-λI)x=0解空间的维数相同,然后看一下T-λI的秩就很明显了,对角线上有n-r个非零元,它们对应的列一定线性无关。
请问这个
矩阵
的秩的
证明
是
怎么
来的
答:
对一般
矩阵
有结论:0<=r(A)<=n。此处如果A为满秩矩阵(r(A)=n),即
A可逆
,由AB=0,两端左乘
A的
逆阵,左边=(A^-1)AB=EB=B,右边=(A^-1)0=0,得B=0与假设矛盾。所以r(A)<n.
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