已知A=是正定矩阵(1,2,-1;a+b,5,a-b;c,0,d)则参数a,b,c,d是答:矩阵正定的前提是对称,所以c=-1,a+b=2,a-b=0,即a=b=1。又正定阵的所有 顺序主子式 为正,其中1阶与2阶的顺序主子式已经是正数,而3阶的顺序主子式是5(d-1),所以d>1。
证明若A是n阶正定矩阵,则存在 n阶正定矩阵B,使得A=B^2答:正定矩阵都是对称阵,所以可以正交相似对角化。即存在正交阵O使得 A=O'diag{a1,a2,...,an}O,再由A正定知对角元全为正数,即a1,a2,...,an>0。令b1=√a1,b2=√a2,...,bn=√an,并取 B=O'diag{b1,b2,...,bn}O,则B正定(对角元全为正数),且 B^2=B*B =O'diag{b1,b2,....
设a,b是n阶实对称矩阵,a是正定矩阵,证明存在可逆矩阵T,使得T答:A正定,存在可逆阵D,使得D’AZD=E,记M=D‘BD是对称阵,故存在正交阵Q,使得Q'MQ是对角阵,令C=DQ,则C'BC=Q'D'BDQ=Q'MQ是对角阵,C'AC=Q'D'ADQ=Q'EQ=E是对角阵.