单摆周期公式推导过程

Question

如题所述

Answer 1

采用牛顿第二定律推导：

如下图，摆长为l,重物受力为：重力mg和绳子的张力T。取如图所示的二维坐标系，张力T可以分解为垂直和水平方向的二个力。L与垂线的夹角为θ。

   

F=ma，可以列出重物在x和y二个方向上的运动方程：

这二个微分方程相当难解，所以只能采用一种“小角度近似”的方法进行处理，

解的物理意义很明确，A是最大振幅，ω是角速度，φ是初相角（视初始条件而定）。

扩展资料：

科学是严谨的，在此补充在任意角度下单摆的周期公式。在此之前先提出两个概念（这里用Mathematica的定义）：

第一类不完全椭圆积分：

第一类完全椭圆积分：

下面用微分方程进行讨论，设摆长为l,摆线与竖直方向的夹角为θ，那么单摆的运动公式为：

令  ，于是有

 

上式改写成：

这是一个可分离变量的微分方程！分离变量：

其通解为：

给定初始条件 （0≤α≤π），  ，则其特解为：

所以考虑t（t是四分之一周期）：

设  ，则

又考虑到

便可以化简得到

按照前面的定义，便有

此处的α就是常说的摆角。

参考资料：百度百科-单摆