在我们的测度论世界中，函数列的收敛行为至关重要。让我们一起探索四个关键的收敛概念：几乎处处收敛，几乎一致收敛，依测度收敛以及依Lp范数收敛。</
定义10.1</：一个可测函数列 fn 几乎处处收敛到 f，记为 a.e.，当且仅当存在一个零测集 N，使得 fn(x) → f(x) 对于所有 x ∈ X \ N 成立。换句话说，limn→∞ fn(x) = f(x) 对于除零测集之外的几乎所有点成立。
定义10.2</：若对于任意 ε > 0，存在一个可测集合 Eε，其测度 μ(Eε) 随 ε 缩小而趋向零，且 fn 在 X \ Eε 上逐点收敛于 f，那么我们称 fn 几乎一致收敛到 f，记为 a.u.
定义10.3</：一个测度 μ 下的函数列 fn 依测度收敛于 f，意味着 μ({x: limn→∞ fn(x) ≠ f(x)}) = 0。
定义10.4</：在 Lp 范数下，若 \limn→∞ \int_X |fn(x) - f(x)|^p dμ = 0，则称 fn 依 Lp 范数收敛到 f。
关键联系</：当我们探讨几乎处处收敛与测度收敛时，命题10.5</指出，对于有限测度空间，几乎处处收敛保证了依测度收敛。而 命题10.6</揭示了，即使在无限测度下，测度收敛的函数列仍有子列几乎处处收敛。
进一步比较，命题10.8</强调，Lp 范数收敛蕴含了测度收敛，但后者通常提供了更严格的收敛性质。Chebyshev 不等式 (引理10.7</)为我们提供了在Lp范数收敛中衡量不等式的工具。
在几乎处处收敛与几乎一致收敛的关系上，命题10.9</揭示，几乎一致收敛意味着几乎处处收敛，但几乎一致收敛的定义要求对每个 ε 都能找到一个相应的集合，这在实际应用中往往更严谨。
最后，定理10.10</，即Egorov定理，展示了在有限测度空间中，几乎处处收敛的函数列如果针对某个函数 g 也几乎一致收敛，那么 g 可以作为收敛的“桥梁”。它在证明其他定理时可能不如其他方法直观，但其理论价值不容忽视。
函数列的收敛行为如同数学的精致舞步，每一定义、定理和引理都是对这一复杂舞蹈的精细描绘。随着我们深入理解，这些概念将帮助我们更好地掌握测度论的精髓。接下来，让我们在 10.2</ 节中探索一些令人信服的收敛反例，以深化我们的理解。