泰勒公式求极限

Question

如题所述

Answer 1

　　利用
　　　√(1+x) = 1 + x/2+ (x^2)(1/2)(-1/2)/2! + o(x^2)，
　　　e^x = 1 + x/1!+ (x^2)/2! + o(x^2)，
　　　cosx = 1 - (x^2)/2! +(x^4)/4! + o(x^6)，
可得
　　　1 + (x^2)/2 - √(1+x^2)
　　= 1 + (x^2)/2 - [1 + (x^2)/2+ (x^4)(1/2)(-1/2)/2! + o(x^4)]
　　= -(x^4)(1/8) + o(x^4)，
　　　cosx-e^(x^2)
= [1 - (x^2)/2! + o(x^4)] - [1 + (x^2)/1! + o(x^2)]
= -(3/2)(x^2)+o(x^2)，
和等价无穷小
sinx ~ x (x→0)
的替换，可得
g.e. = lim(x→0)[1 + (x^2)/2 - √(1+x^2)]/{[cosx-e^(x^2)]*(x^2)}
= lim(x→0)[-(x^4)(1/8) + o(x^4)]/{[-(3/2)(x^2)+o(x^2)]*(x^2)}
= lim(x→0)[-(1/8) + o(x^4)/(x^4)]/[-(3/2)+o(x^2)/(x^2)]
= (1/8)/(3/2)
= ……追问

啊，知道了，谢谢哈

忘了公式了

追答

　　教材干啥用的？翻书啊！记
　　　f(x) =√(1+x)，
泰勒公式是啥样的？写一下就有：
　 　f(x) = f(0) + [f'(0)/1!]x +[f"(0)/2!]x² + o(x²)
　 　　= ……