winogradFFT，由winograd博士提出，全称为Winograd快速傅里叶变换，旨在通过减少DFT中的乘法操作次数，特别适用于2、3、4、5、7、8、9和16点序列。当处理多点数时，它常与混合基算法和素因子算法联手工作，以优化计算效率。
熟悉DFT的人都知道，有限序列的离散傅里叶变换可以表示为
其中，k的取值范围是0到\( n-1 \)。这可以进一步表示为矩阵形式：
X(k) = [x(0) x(1) ... x(n-1)]^T
特别地，当\( N \)为上述特定数值时，W矩阵可以分解为三个简单矩阵的乘积，A和C由0和±1构成，B是对角阵，包含实数和虚数部分。
理解W矩阵的关键在于，它通过改变矩阵的行列顺序，揭示了循环卷积的特性。利用循环卷积的算法，如通过最小乘法次数减少计算，这背后源于数论中的原根计算，尽管原理复杂，但我们只需知道它如何调整输入和输出顺序，让DFT可以借助winogradFFT高效实现。
让我们从两点循环卷积开始，对比计算方式的效率差异：原来四次乘法与简化后只需两次（不计常数项）。例如，三点DFT的矩阵表达式中，循环矩阵部分展示了这一点：
3点DFT = [x(0) x(1) x(2)]^T W ，
其中W包含一个循环卷积结构，可简化为：
利用这种方法，五点WFT并非仅基于三点循环卷积，而是winograd博士独立发现的创新。同样，五点DFT通过序列重排隐藏了四点循环卷积的线索。
更深入探讨，八、九、十六点的WFT，winograd博士直接提供了计算方法，它们的W矩阵由ABC三个矩阵相乘，且乘法次数达到了最小。
值得注意的是，九点DFT中的W矩阵通过输入序列重排，包含了一个六点循环卷积，这在大N点处理中显得尤为重要。
面对大N的WFTA，混合基算法和素因子算法就显得至关重要。素因子算法是混合基算法的一种特殊情况，例如12点的情况：
以15点DFT为例，通过空间计算流图，可以进一步简化乘法步骤，将计算复杂度降到与3点和5点WFT乘法次数的乘积。
总的来说，winogradFFT是一个巧妙的优化工具，它结合了数论的智慧，为高效计算提供了可能。尽管这只是对其算法冰山一角的理解，但希望对有志于此者提供一些启示。让我们一起探索这一领域的更多奥秘。