一道大一数学分析里的题，高手请进！

Question

设S为非空数集，定义S~={x!-x￡s}.证明：(1)infs~=-supS (2)supS~=-infS
注：￡表示属于；!表示竖线。
急啊！知道的请说一下，若合理的话，立即采纳！

Answer 1

(1)设supS=p,由上确界的定义我们可以知道,supS=p的含义是:1)对任意x属于S有x<=p. 2)对任意e>0,存在x属于S使得|x-p|<e.
那么,下面我们证明infS~=-p
即证明对于任意x属于S~有x>=-p 并且 对任意e>0,存在x属于S~使得|x-(-p)|<e.
先证明第一部分:
对于任意x属于S~,由S~的定义我们知道 -x属于S,而supS=p,所以-x<=p,所以x>=-p,得证.
再证明第二部分:
对于任意e>0,首先存在x属于S使得|x-p|<e.设为x0.即|x0-p|<e.那么由于x0属于S,所以-x0属于S~,并且|-x0-(-p)|=|-x0+p|=|x0-p|<e.也就是说S~中存在一个x=-x0,满足|x-(-p)|<e.得证.
综合两个部分可以知道infS~=-p=-supS

(2)基本同第一小问

其实我的证明过于详细,可以简略.

参考资料：我的大脑

Answer 2

(1)设supS=p,由上确界的定义我们可以知道,supS=p的含义是:1)对任意x属于S有x<=p.
2)对任意e>0,存在x属于S使得|x-p|<e.
那么,下面我们证明infS~=-p
即证明对于任意x属于S~有x>=-p
并且
对任意e>0,存在x属于S~使得|x-(-p)|<e.
先证明第一部分:
对于任意x属于S~,由S~的定义我们知道
-x属于S,而supS=p,所以-x<=p,所以x>=-p,得证.
再证明第二部分:
对于任意e>0,首先存在x属于S使得|x-p|<e.设为x0.即|x0-p|<e.那么由于x0属于S,所以-x0属于S~,并且|-x0-(-p)|=|-x0+p|=|x0-p|<e.也就是说S~中存在一个x=-x0,满足|x-(-p)|<e.得证.
综合两个部分可以知道infS~=-p=-supS
(2)基本同第一小问
其实我的证明过于详细,可以简略.

Answer 3

(1)设supS=p,由上确界的定义我们可以知道,supS=p的含义是:1)对任意x属于S有x<=p.
2)对任意e>0,存在x属于S使得|x-p|
=-p
并且
对任意e>0,存在x属于S~使得|x-(-p)|
=-p,得证.
再证明第二部分:
对于任意e>0,首先存在x属于S使得|x-p|
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Answer 4

sorry
看不清哦
不过数学题重在思维
思维试着开阔一些