的两列是 和 ，设 是 到 的线性变换，满足 。求出 中任意向量 的像的公式。
解：
因为 是线性变换，所以：
定理 设 为线性变换，则存在唯一的矩阵 ，使得对 中一切 ， 。事实上， 是 矩阵，它的第 列是向量 ，其中 是 中单位矩阵 的第 列：
证：
记
由于 是线性变换，所以：
其中矩阵 称为 线性变换的标准矩阵 。
由 到 的每个线性变换都可看作是 矩阵变换 ，反之亦然。术语线性变换强调映射的性质，而矩阵变换描述这样的映射如何实现。
设 为把 中每一个点绕原点逆时针正角度 的变换。我们可以从几何上证明这个变换是线性变换。求出这个变换的标准矩阵。
解： 旋转成为 ， 旋转成为 。
对称变换
收缩与拉伸
剪切变换
投影
映射 称为到 上的映射，若 中每个 是 中至少一个 的像。（也称为满射）
等价地，当 的值域是整个余定义域 时， 是到 上的映射。也就是说，若对 中每个 ，方程 至少有一个解。
映射 称为到 上的一对一映射，若 中每个 是 中至多一个 的像。（也称为单射）
等价地， 是到 上的一对一映射，若对 中每个 ，方程 有唯一的解或没有解。
上面的表格中，投影不是一对一映射，也不能将 映上到 ；其他（对称变换、收缩与拉伸、剪切变换）都是一对一映射，也能将 映上到 。
设 是线性变换，它的标准矩阵为 。 会否把 映上到 ？ 是否是一对一映射？
解：因为 已经是阶梯形矩阵，可立即看出， 在每一行有主元位置，对 中每个 ，方程 相容。也就是说，线性变换 能将 映射到 上。然而因为方程 有一个自由变量，每个 都有多个 的像。所以 不是一对一映射。
设 是线性变换， 为 的标准矩阵，则