的两列是 和 ,设 是 到 的线性变换,满足 。求出 中任意向量 的像的公式。
解:
因为 是线性变换,所以:
定理 设 为线性变换,则存在唯一的矩阵 ,使得对 中一切 , 。事实上, 是 矩阵,它的第 列是向量 ,其中 是 中单位矩阵 的第 列:
证:
记
由于 是线性变换,所以:
其中矩阵 称为 线性变换的标准矩阵 。
由 到 的每个线性变换都可看作是 矩阵变换 ,反之亦然。术语线性变换强调映射的性质,而矩阵变换描述这样的映射如何实现。
设 为把 中每一个点绕原点逆时针正角度 的变换。我们可以从几何上证明这个变换是线性变换。求出这个变换的标准矩阵。
解: 旋转成为 , 旋转成为 。
对称变换
收缩与拉伸
剪切变换
投影
映射 称为到 上的映射,若 中每个 是 中至少一个 的像。(也称为满射)
等价地,当 的值域是整个余定义域 时, 是到 上的映射。也就是说,若对 中每个 ,方程 至少有一个解。
映射 称为到 上的一对一映射,若 中每个 是 中至多一个 的像。(也称为单射)
等价地, 是到 上的一对一映射,若对 中每个 ,方程 有唯一的解或没有解。
上面的表格中,投影不是一对一映射,也不能将 映上到 ;其他(对称变换、收缩与拉伸、剪切变换)都是一对一映射,也能将 映上到 。
设 是线性变换,它的标准矩阵为 。 会否把 映上到 ? 是否是一对一映射?
解:因为 已经是阶梯形矩阵,可立即看出, 在每一行有主元位置,对 中每个 ,方程 相容。也就是说,线性变换 能将 映射到 上。然而因为方程 有一个自由变量,每个 都有多个 的像。所以 不是一对一映射。
设 是线性变换, 为 的标准矩阵,则