设p是素数,a是正整数,证明不大于p^a且与之互素的正整数有p^a-p^(a-1)

Question

设p是素数,a是正整数,证明不大于p^a且与之互素的正整数有p^a-p^(a-1)

Answer 1

p是素数，a为正整数，
因而由算术基本定理，p^a的的素因子只有p，
因而，与p^a互素的数相当于不含有p作为素因子的数。
注意到，左右含有p作为素因子的数m，且0＜m≤p^a，
即表示不超过p^a且与p不互素的数，它们均为p的倍数，不妨设为n倍，
因而，n＝m/p
于是，0＜n≤p^(a-1)，因而，n有1、2、3、……、p^(a-1)共p^(a-1)个取值。
也就是说，不大于p^a且与之【不互素】的正整数有p^(a-1)个。
另一方面，不大于p^a的正整数显然有p^a个，
于是，
不大于p^a且与之【互素】的正整数有p^a－p^(a－1)个。
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以上。
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