帮忙解答椭圆与抛物线的综合问题

Question

如图，设抛物线C1：y2=4mx(m＞0)的准线与x轴交于F1，焦点为F2.以F1，F2为焦点，离心率的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的交点为P，延长PF2交抛物线于点Q，若△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数。（1）求抛物线C1和椭圆C2的方程；（2）设M是抛物线C1上一动点，且M在P与Q之间运动，求△MPQ面积的最大值。

Answer 1

:≈
≡
≠＝≤≥＜＞±
＋
－
×
÷
／
∫∮∝
∞
∑∪∩∈
∵
∴
⊥
∠
⌒
⊙
≌
∽
√
π
Ω
^1）
抛物线C1：y2=4mx(m＞0)
，即准线
X=-m
，准线与x轴交于F1，
F1
（-m，0） ，F2（m，0 ）
椭圆C2 F1F2
=2m
，设PF1=2m+1
，PF2=2m-1
，故PF1+PF2=
4m=2a ，即
a=2m
即a^2=4m^2
,于是b^2=a^2-c^2=3m^2
又e=c/a=m/2m/
=1/2
,
而又
e=PF1/
P到准线的距离
,
即e=(2m+1)/5m
,于是
(2m+1)/5m =1/2
,得
m=2
,于是
a^2=16
,
b^2=12

所以抛物线C1
:
y^2=
8X
,椭圆C2:
X^2/16+y^2/12=1
2)
抛物线C1
:
y^2=
8X, 椭圆C2: X^2/16+y^2/12=1
联立解得3X^2+32X-48=0
,
X=4/3
,及X=-12(舍去)
得点p
(4/3
,
4√6/3
)
, 而
F2(
2,0)
,
得
PF2: y=
-2√6X
+4√6,再与抛物线C1
: y^2=
8X, 联立解得
Q
(
3
,
- 2√6
)
,
PQ:
y=
-2√6
X+
4√6
,PQ长=
25/3以//PQ的直线作抛物线C1
的切线,得切点M
,则点M到PQ的距离最长,即S三角形MPQ最大
为此,对抛物线C1
取导
,得
2yy'=8
,
y=4/
y'
,
以y'=-2√6
代入
,得
y
=-√6
/3
,得
X=1/12
于是
M(
1/12,
-√6
/3
)
,
那么点M的PQ的距离
H=
|
-√6
/6+√6
/3
+4√6
|
/√25 =5√6/6
于是△MPQ面积的最大值
=1/2*PQ*H
=1/2*25/3
*5√6/6
=
125√6/
36
≈8.505 (不知何故
,打出的字的大小有变化)