若矩阵A，B的乘积AB=0，且A不等于0，则一定有B=0 正确吗

Question

如题所述

Answer 1

是对的
不失一般性，设A不是0矩阵
假设|B|≠0，那么B是可逆矩阵，设C是B的逆矩阵
则A=AE=ABC=（AB）C=0*C=0矩阵
这和A不是0矩阵矛盾，所以|B|=0
同理，如果B不是0矩阵，则|A|=0成立。
而A、B都不是零矩阵，则必有|A|和|B|同时=0也成立。

Answer 2

不一定，AB=0,说明B的列为齐次线性方程组AX=0的解，当|A|≠0时，齐次线性方程组只有零解，此时B=0,当|A|=0时，齐次线性方程组有非零解，此时B≠0,反例可以举|A|=0的情形。

Answer 3

错的，你用三阶方A＝（100 000 000）B＝（000 010 000）相乘得0，它俩都不是O方阵。

Answer 4

A=B=
0 0
1 0