设F为实数集R到实数集R的函数，满足，f（x+y)=f(x)+f(y）+2xy,若f（x)的图像有对称轴x=k，且在区间【2,3】

Question

设F为实数集R到实数集R的函数，满足，f（x+y)=f(x)+f(y）+2xy,若f（x)的图像有对称轴x=k，且在区间【2,3】上单调递减，求k的取值范围

怎么求f（1）

Answer 1

令y=1,则有f(x+1)=f(x)+f（1）+2x,
f(x+1)-f(x)=f（1）+2x
f(x)-f(x-1)=f（1）+2（x-1)
。。。。
f(2)-f(1)=f(1)+2*1
累加得f(x+1)-f(1)=f(1)x+2（1+2+。。。x)
f(x+1)=x^2+[1+f(1)]x+f(1)
f(x)= x^2+[f(1)-1]x
有图像知，只有当k>=3才能满足题意
综上所述；k>=3

Answer 2

f(k+0)=f(k)+f(0)+0, 有f(0)=0;
f(x-x)=f(x)+f(-x)-2x^2=0, f(x)+f(-x)=2x^2;
f(k+x)=f(k-x), 可得 f(-x)-f(x)=4kx ;
两式相减 可得 f(x)=x^2-2kx;本回答被提问者采纳

Answer 3

f(x)=(x-k)的平方 开口向上
2到3单调递减，说明对称轴k大于等于3

Answer 4

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