a+b+c≥3(abc)^(1/3), (a＞0,b＞0,c＞0),能帮我写一下这个不等式的证明过程吗？

Question

a+b+c≥3(abc)^(1/3), (a＞0,b＞0,c＞0),能帮我写一下这个不等式的证明过程吗？

Answer 1

a³+b³+c³-3abc
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)
=1/2×(a+b+c)(2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac)
=1/2×(a+b+c)[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]
≥0
a³+b³+c³≥3abc
令x=a^1/3
y=b^1/3
z=c^1/3
也就是x+y+z>=3(xyz)^(1/3)得证