一道初中数学题

Question

已知PA=√2, PB=4，四边形ABCD是正方形，
1，若∠APB=45°，求PD的长度，
2，求PD的最大值，并求此时∠APB的度数。

Answer 1

1、若∠APB=45°，求PD的长度，
用余弦定理
AB²=2+16-2*4*√2*cos45°=18-8=10, AB=√10
根据 4²=10+2-2*√2*√10*cos∠PAB
∠PAB=-√2/√10
cos∠PAD=cos(360º-90º-∠PAB)=cos(90º+∠PAB)=-sin∠PAB
而 sin∠PAB=√(1-cos²∠PAB)=2/√5
所以有 cos∠PAD=-sin∠PAB=-2/√5
PD²=10+2-2√2*√10*cos∠PAD
=12-2√2*√10*(-2/√5)
=12+4(√20/√5)=20
就是 PD=√20=2√5
2、从图可以看出，(1)当P在DA延长线的左边时，在∠PAD=180º即此角为平角时PD为最大，
此时△PAB为直角三角形，AD=AB=√(4²-2)=√14
PD=AD+PA=√14+√2,(约等于5.156)
(2)当P在DA延长线的右边时，作如下分析：
设∠APB=θ, 则正方形边长
a²=4²+2-2*4*√2*cosθ=18-8√2*cosθ,
由正弦定理可得 sin∠PAB=(4sinθ)/a
cos∠PAD=cos(90º+∠PAB)=-sin∠PAB=(-4sinθ)/a
所以 PD²=a²+2-2*√2*a*cos∠PAD
=(18-8√2*cosθ)+2-2√2*a*(-4sinθ)/a
=20+8√2(sinθ-cosθ)
因为当PD²取得最大值时，PD也取得最大值，所以可求PD²最大值，对上式求导、求驻点，
(PD²)'=8√2(cosθ+sinθ)
当8√2(cosθ+sinθ)=0, 即 cosθ=-sinθ时，PD最大，
此时，可知θ在第二象限，所以θ=135º
PD²=20+8√2*[√2/2-(-√2/2)]=20+16=36
PD=6，因为比（1）的值为大，所以此为PD的最大值.
∠APB=θ=135º。

Answer 2

1、将AP绕点A顺时针旋转90至AE，连结PE、BE
则△APE是等腰直角三角形，且△ABE≌△ADP
∴PE＝√(AP^2＋AE^2)＝2
∵∠BPE＝∠APB＋∠APE＝90°
∴PD＝BE＝√(PE^2＋BP^2)＝2√5

2、仿1将AP绕点A顺时针旋转90至AE，连结PE、BE
仍有△APE是等腰直角三角形，△ABE≌△ADP，PE＝√(AP^2＋AE^2)＝2
当∠APB＝135°时，点E在AB的延长线上，此时PD＝BE＝PB＋PE＝6
而在其它情况，A、E、B三点不共线，在△ABE中定有BE＜PB＋PE＝6
故PD的最大值为6，此时∠APB＝135°本回答被提问者采纳

Answer 3

若∠APB=45°，求PD的长度，
用余弦定理
AB²=2+16-2*2*√2cos45°=18-4=14, AB=√14
因为 PB²-PA²=16-2=14=AB²
可知△ABP是直角三角形，∠BAP=90º
因此 ∠DAP=180º
可知 PD=PA+AD=√2+√14
还可知此为PD的最大值，此时∠APB=45度。

Answer 4

1、用正余弦定理解三角形APB，可以得到∠PAB和AB；
∠PAB+90°+∠PAD=360°，AD=AB，再用余弦定理解三角形APD，即可解得PD的长度

2、设∠APB=θ，同上解三角形APB、APD，得到PD关于θ的函数，求此函数的最值即可

Answer 5

1。∵四边形ABCD是正方形
∴∠PAB=90°，DA=BA
∵PA=根号2，PB=4
∴BA=根号14
∴DA=BA=根号12
∴PD=根号14+根号2