A和B都是n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是()

Question

求解答，谢谢

Answer 1

正负惯性指数相同。

Answer 2

AB正负惯性指数相等

Answer 3

①选项A．由A与B合同，知存在可逆矩阵C，使得C^TAC=B，因此R（A）=R（C^TAC）=R（B），但反之，不成立，故A错误；
②选项B．由于A与B相似，则存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=B；而A与B合同，是指存在可逆矩阵C，使得C^TAC=B，P与C、P^-1与C^T不一定相等，故B错误；
③选项C．由于对称矩阵合同的充分必要条件就是正负惯性指数相同，也就是正负特征值的个数相同，因此C正确；
④选项D．tr（A）=tr（B）只能说明两个矩阵的迹相同，即特征值之和相同，这与两个矩阵合同毫无关系．
故选：C．

追问

对于B选项，P矩阵不是可以正交化，然后P逆与P的转置就相同了

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