这道高三关于离心率的数学题，答案选C，求学霸告知解题过程

Question

拜托了🙏🏻 求学霸解答啊啊啊啊啊我做出来不是A就是B，求解题过程

Answer 1

Answer 2

设a=1,则渐近线方程为y=bx
设MN都在第一象限,作图可知b<1
设N(x0,bx0),M(λx0,λbx0),过F作FH⊥MN于H,那麼FH=b
MF=NF,MF⊥NF,所以MN=2b,MF=√2b=r
MN=√(1+b²)*|λx0-x0|=c*(λ-1)x0=2b
N在圆上,(x0-c)²+(bx0)²=2b²

整理得(1-b²)(λ-1)²-4b(λ-1)+4b²=0
这是一个关於λ-1的一元二次方程,解得λ-1=2b/(1+b)或2b/(1-b)

λ∈[2,5]所以λ-1∈[1,4]
当λ=2b/(1-b)时解得b∈[1/3,2/3],再利用c²=1+b²=e²就得C选项了

λ=2b/(1+b)时会出现b>1,矛盾