第1个回答 2022-10-02
内自同构(inner automorphism)一类特殊的自同构。若g是群G中一个元，则映射给出群G的一个自同构，称这样的自同构为群G的内自同构。
定义
在抽象代数的群论中，内自同构是群的自同构的一种。设g为群G的一个元素，则g对应的内自同构，是以g的共轭作用定义如下：
群G的一个自同构，如果是G的元素的共轭作用，便称为内自同构。
内自同构(inner automorphism)是一类特殊的自同构，若g是群G中一个元，则映射给出群G的一个自同构，称这样的自同构为群G的内自同构。
群G的所有内自同构在映射的合成运算下构成一个群，称为G的内自同构群，常记为Inn (G)。若G为交换群，则Inn(G)={1}。群G的内自同构群是它的自同构群的正规子群，群G的内自同构群同构于商群G/Z(G)，其中Z(G)为G的中心，即Inn (G)-G/Z (G)。群G的不是内自构的自同构称为外自同构.商群Out (G) =Aut (G) /Inn (G)称为G的外自同构群.外自同构群的元素一般不是自同构。[1]
性质
（1）若g在G的中心Z(G)内，则是平凡的。因此阿贝尔群的内自同构都是平凡的。一般而言，的不动点集，正是g的中心化子CG(g)。
（2）内自同构的逆元是。两个内自同构的复合是。
（3）由群的中心的基本性质可知，若Inn(G)是循环群，则Inn(G)是平凡群。
（4）若Inn(G)=Aut(G)且G无中心，则G称为完备群。
（5）若G是完满群且Inn(G)是单群，则G称为拟单群。
（6）设R是半完备环，R的内自同构群为G，若对任意0≠e=e~2∈R,1+e是R中的可逆元，则R在G作用下的不变元是R的中心。[2]