设A B都是n阶对称矩阵，证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA. 求详解~!

Question

如题所述

Answer 1

证明：先证明a是
n阶对称矩阵充分必要条件是a＝a＾t
设a＝(aij)n*n　　a^t=(bij)n*n
aij=bji
1<=i,j<=n
当a是对称矩阵时，aij=aji
(n*n)，当然有a=a^t
当a＝a＾t时，aij=aji，即a是对称矩阵

已知a、b
是n阶对称矩阵时,a=a^t
b=b^t
若ab是对称矩阵，(ab)^t=b^ta^t=ba
故是充分条件
若ab=ba，两边转置有：(ab)^t=(ba)^t
即：(ab)^t=a^tb^t　
(ab)^t=ba
故ab是对称矩阵，
故原命题成立