设A是n阶正定矩阵，AB是n阶实对称矩阵，证明AB正定的充要条件是B的特征

设A是n阶正定矩阵，AB是n阶实对称矩阵，证明AB正定的充要条件是B的特征值全大于零

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第1个回答 2020-01-21

因为A正定,
所以存在可逆阵C,
使得A=C^TC
而
AB=C^TCB=C^T(CBC^(-1))C
所以
AB
与
CBC^-1
合同.
所以有
AB正定
<=>
CBC^-1
正定
<=>
CBC^-1
的
特征值
都大于0
<=>
B
的特征值都大于0

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