混合二阶偏导数相等

Question

对于二元函数，有一阶偏导数可导(fx(x,y)对y可导，fy(x,y)对x可导)，则二阶混合偏导数连续对吗, 即混合偏倒数相等?

Answer 1

一阶偏导数可导，不能保证二阶混合偏导数连续。
反例:分段函数，
x^2+y^2≠0时,f(x,y)=xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2);x=y=0时,f(x,y)=0。
二阶混合偏导数连续，则二阶混合偏导数相等。