第1个回答 2022-07-20
三、新课讲解
上述两个函数都具有的形式，一般地，形如(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数(proportional function).
说明 1.反比例函数与正比例函数定义相比较，本质上，正比例y=kx，即，k是常数，且k≠0;反比例函数，则xy=k，k是常数，且k≠0.可利用定义判断两个量x和y满足哪一种比例关系.
2.反比例函数的解析式又可以写成：( k是常数，k≠0).
3.要求出反比例函数的解析式，只要求出k即可.
实践应用
例1 下列函数关系中，哪些是反比例函数?
(1)已知平行四边形的面积是12cm2，它的一边是acm，这边上的高是hcm，则a与h的函数关系;
(2)压强p一定时，压力F与受力面积s的关系;
(3)功是常数W时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系.
(4)某乡粮食总产量为m吨，那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x的函数关系式.
例2 当m为何值时，函数是反比例函数，并求出其函数解析式.
例3 将下列各题中y与x的函数关系与出来.
(1)，z与x成正比例;
(2)y与z成反比例，z与3x成反比例;
(3)y与2z成反比例，z与成正比例;
例4 已知y与x2成反比例，并且当x=3时，y=2.求x=1.5时y的值.
分析 因为y与 x2成反比例，所以设，再用待定系数法就可以求出k，进而再求出y的值.
例5 已知y=y1+y2， y1与x成正比例，y2与x2成反比例，且x=2与x=3时，y的值都等于19.求y与x间的函数关系式.
小结
一般地，形如(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数(proportional function).
要求反比例函数的解析式，可通过待定系数法求出k值，即可确定.
练习2
1.分别写出下列问题中两个变量间的函数关系式，指出哪些是正比例函数，哪些是反比例函数，哪些既不是正比例函数也不是反比例函数?
(1)小红一分钟可以制作2朵花，x分钟可以制作y朵花;
(2)体积为100cm3的长方体，高为hcm时，底面积为Scm2;
(3)用一根长50cm的铁丝弯成一个矩形，一边长为xcm时，面积为ycm2;
(4)小李接到对长为100米的管道进行检修的任务，设每天能完成10米，x天后剩下的未检修的管道长为y米.
2.已知y与x-2成反比例，当x=4时，y=3，求当x=5时，y的值.
3.已知y=y1+y2， y1与成正比例，y2与x2成反比例.当x=1时，y=-12;当x=4时，y=7.(1)求y与x的函数关系式和x的取范围;(2)当x=时，求y的值.
4.已知一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是ycm，宽是5cm，高是xcm.
(1)写出用高表示长的`函数式;
(2)写出自变量x的取值范围;
(3)当x=3cm时，求y的值.
5.试用描点作图法画出问题1中函数的图象.
上节的练习中，我们画出了问题1中函数的图象，发现它并不是直线.那么它是怎么样的曲线呢?本节课，我们就来讨论一般的反比例函数(k是常数，k≠0)的图象，探究它有什么性质.
二、探究归纳
1.画出函数的图象.
解 1.列表：这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数，列出x与y的对应值：
2.描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出在京各点点(-6,-1)、(-3,-2)、(-2,-3)等.
3.连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支;用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支.这两个分支合起来，就是反比例函数的图象.
上述图象，通常称为双曲线(hyperbola).
提问 这两条曲线会与x轴、y轴相交吗?为什么?
画出反比例函数的图象
1.这个函数的图象在哪两个象限?和函数的图象有什么不同?
2.反比例函数(k≠0)的图象在哪两个象限内?由什么确定?
3.联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x的增加，函数y将怎样变化?有什么规律?
反比例函数有下列性质：
(1)当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少;
(2)当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加.
注 1.双曲线的两个分支与x轴和y轴没有交点;
2.双曲线的两个分支关于原点成中心对称.
以上两点性质在上堂课的问题1和问题2中反映了怎样的实际意义?
在问题1中反映了汽车比自行车的速度快，小华乘汽车比骑自行车到镇上的时间少.
在问题2中反映了在面积一定的情况下,饲养场的一边越长,另一边越小.
三、实践应用
例1 若反比例函数的图象在第二、四象限，求m的值.
分析 由反比例函数的定义可知： ,又由于图象在二、四象限，所以m+1<0，由这两个条件可解出m的值.
解 由题意，得 解得.
例2 已知反比例函数(k≠0)，当x>0时，y随x的增大而增大，求一次函数y=kx-k的图象经过的象限.
例3 已知反比例函数的图象过点(1,-2).
(1)求这个函数的解析式，并画出图象;
(2)若点A(-5,m)在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上?
例4 已知函数为反比例函数.
(1)求m的值;
(2)它的图象在第几象限内?在各象限内，y随x的增大如何变化?
(3)当-3≤x≤时，求此函数的最大值和最小值.
例5 一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是5厘米，高是x厘米.
(1)写出用高表示长的函数关系式;
(2)写出自变量x的取值范围;
(3)画出函数的图象.
说明 由于自变量x>0,所以画出的反比例函数的图象只是位于第一象限内的一个分支.
小结
本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质.
1.反比例函数的图象是双曲线(hyperbola).
2.反比例函数有如下性质：
(1)当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少;
(2)当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加.
五、课堂练习
1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：
2.已知y是x的反比例函数，且当x=3时，y=8,求：
(1)y和x的函数关系式;
(2)当时，y的值;
(3)当x取何值时，?
3.若反比例函数的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，求n的值.
4.已知反比例函数经过点A(2,-m)和B(n,2n)，求：
(1)m和n的值;
(2)若图象上有两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，且x1<0< x2，试比较y1和 y2的大小
四、课后作业布置
课后练习卷一份
六、课后教学反思