第1个回答 2022-07-05
1.加法原理
完成一件事，有k类方法，各类分别有n1、n2……nk种方法
一共有n1+n2+……+nk种方法
2.乘法原理
完成一件事，要k步，各步骤分别有m1、m2……mk种方法
一共有m1•m2•……•mk种方法
3.排列
从m个不同对象中 依次 选取n个， 排成一列 ，一共有A（n，m）种
A（n，m）=m（m-1）……（m-n+1）=m！/（m-n）！
4.组合
从m个不同对象中选取n个（ 无序 ）， 组成一个集合 ，一共有C（n，m）种
C（n，m）=m（m-1）…（m-n+1）/n！=m！/（m-n）！n！
例题1
用0、1、2、3、4能组成多少个不同的五位偶数？
A（4，4）+3•A（3，3）+3•A（3，3）=60
答案：60种
例题2
用2个1、3个2、1个3组成多少个6位数？
C（2，6）•C（3，4）•C（1，1）=60
答案：60种
常用方法
（1）枚举法
（2）利用排列数与组合数计算，包括分情况讨论、运用容斥原理，考虑重复情况等
（3）将问题转化为一般性情况，再利用递推的思路解决
（4）构造另一个组合模型，再利用对应的思路解决
5.递推法
例题3
10条直线能把平面分成多少各区域？（思路：将问题一般化处理）
n= 1 2 3 4
m=2 4 7 11
a（n）=a（n-1）+n
a（5）=16 a（6）=22
a（7）=29 a（8）=37
a（9）=46 a（10）=56
答案：56个
6.对应法（构造几何模型）
例如：插板法、标注法（最短路线）
例题4
不定方程x1+x2+x3+x4+x5+x6=10有几组正整数解？（运用插板法）
取10个球，分成6组
OO | OO | O | OOO | O | O
x1 x2 x3 x4 x5 x6
️️即问题转化为在9个空中插入5个隔板
C（5，9）=126
结论1
x1+x2+……+xn=m的 正整数 解有C（n-1，m-1）组
结论2
x1+x2+……+xn=m的 非负整数 解有多少组？
→（x1+1）+（x2+1）+……+（xn+1）=m+n
即问题转化为y1+y2+……+yn=m+n的正整数解
即C（n-1，m+n-1）
整理不易，谢谢点赞