三角形性质
角
1 在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）；
2 在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)；
3 在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4 一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。
5 在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。
边
6 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
7 在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。
8直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
*勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c² ，那么这个三角形是直角三角形。
9直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
10三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。
11三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。
12 等底同高的三角形面积相等。
13 底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。
14三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。
15等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高、底边上的中线在一条直线上（三线合一）。
1、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。 2、第n行的数字个数为n个。 3、第n行数字和为2^(n－1)。 4、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个帕斯卡三角形。
5、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第2n个斐波那契数。将第2n行第2个数，跟第2n+1行第4个数、第2n+2行第6个数……这些数之和是第2n-1个斐波那契数。 6、第n行的第1个数为1，第二个数为1×(n-1)，第三个数为1×(n-1)×（n-2）/2，第四个数为1×(n-1)×（n-2）/2×（n-3）/3…依此类推。
杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：
1 n=0
1 1 n=1
1 2 1 n=2
1 3 3 1 n=3
1 4 6 4 1 n=4
1 5 10 10 5 1 n=5
1 6 15 20 15 6 1 n=6
……
此数列中各行中的数字正好是二项式a+b乘方后，展开始终各项的系数。如：
(a+b)^1=a^1+b^1
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
……
(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6（注意发现规律）
……
数线段就数线段上有多少个点，包括末端的点，在用点数乘于点数减一的差除于二，也就是： n×﹙n－1﹚÷2 数角和数线段的公式一样
自己做题，并注意总结；
三角形一边上的中线，被另外条中线截成2：1的比例，靠近顶点的那边长点
三角形被分成了两个面积相等的三角形
延长中线可以构建平行四边形等
规律是：三角形内角和为180°.
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
2重心定理
三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）
重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角座标系中，重心的座标是顶点座标的算术平均数，即其重心座标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
3外心定理
三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的座标应先计算下列临时变数：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心座标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等
4垂心定理
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的尤拉线（Euler line））
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
定理证明
已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连线CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB
证明：
连线DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE
∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC
∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB
因此，垂心定理成立！
5内心定理
三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
内心的性质：
1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
3、P为ΔABC所在空间中任意一点，点0是ΔABC内心的充要条件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).
4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
5、(尤拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．
6、（内角平分线分三边长度关系）
△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R， 则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.
7、内心到三角形三边距离相等。
6旁心定理
三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。
旁心的性质：
1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
2、每个三角形都有三个旁心。
3、旁心到三边的距离相等。
如图，点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
7有关诗歌
三角形五心歌（重外垂内旁）
三角形有五颗心，重外垂内和旁心， 五心性质很重要，认真掌握莫记混．
重 心
三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好．
外 心
三角形有六元素，三个内角有三边． 作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为外心，用它可作外接圆． 内心外心莫记混，内切外接是关键．
垂 心
三角形上作三高，三高必于垂心交． 高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清.
内 心
三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．
五心性质别记混，做起题来真是好。
一个一个的数，我儿子会。
答：在一个圆画几个直角三角形的规律：
以圆周上任意一点C，向这个圆的任意一条直径AB的两端作AC、BC二根连线，所作的△ABC 都是直角三角形。斜边是直径AB，AC、BC是两条直角边。
以“由100个完全一样的小正三角形组成一个大三角形，问这个大三角形中一共有多少个三角形？”为例。
100个完全一样的正三角形摆成一个10层的大三角形。
（一）算单个三角形的个数10×10=100.
(二）算出尖朝上的三角形的个数。算尖朝上的三角形个数也是采用倒加整数的方法，关键是确定首数。先算由4个小三角形组成的尖朝上的三角形的个数：从9（9是首数，首数比层数少1）开始倒著加，一直加到1（9+8+7+6+5+4+3+2+1=45）；接着算由9个小三角形组成的尖朝上的三角形的个数：从8开始倒著加，一直加到1（8+7+6+5+4+3+2+1=36）；再算由16个小三角形组成的尖朝上的三角形的个数：从7开始倒著加一直加到1，（7+6+5+4+3+2+1=28）；接着算由25个小三角形组成的尖朝上的三角形的个数：从6开始倒著加，一直加到1（6+5+4+3+2+1=21）......算出由81个小三角形组成的尖朝上的三角形个数：从2开始倒著加，一直加到1（2+1=3）；最后算由100个小三角形组成的尖朝上的三角形个数：就是1。（三）算出倒三角形的个数。从4个小三角形组成的倒三角形算起，也是用倒著加的方法计算，关键要知道首数是多少，告诉大家由4个小三角形组成的倒三角形的首数比总共的层数少3，即10-3=7，个数就是：7+6+5+4+3+2+1=28。以后算倒三角形的个数的首数每次少2，也就是说由9个小三角形组成的倒三角形的个数应该从5开始倒著加即5+4+3+2+1=15，,16个小三角形组成的倒三角形的个数应该从3开始倒著加即3+2+1=6，由25个小三角形组成的倒三角形的个数就是1了，就不可能再有由36个、49个，甚至更多的小三角形组成的倒三角形了。（四）把单个三角形、正的三角形和倒的三角形的个数加在一起就是总共三角形的个数。