第1个回答 2023-02-08
全国2013年1月自考真题：线性代数试题
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。
1．设A、B为同阶方阵，则必有
A.|A+B|=|A|+|B|
B.AB=BA
C.(AB)T=ATBT
D.|AB|=|BA|
2．设n阶方阵A、B、C满足ABC=E，则必有
A．ACB=E
B．CBA=E
C．BCA=E
D．BAC=E
3．设A为三阶方阵，且|A|=2，则|-2A|=
A．-16
B．-4
C．4
D．16
4．若同阶方阵A与B等价，则必有
A．|A|=|B|
B．A与B相似
C．R(A)=R(B)
D．
5．设α1= (1，0，0)、α2=(2，0,0)、α3=(1，1，0)，则
A．α1，、α2、α3线性无关
B．α3可由α1、α2线性表示
C．α1可由α2、α3线性表示
D．α1、α2、α3的秩等于3
6．设向量空间V={ (x1，x2，x3)|x1+x2+x3=0}，则V的维数是
A．0
B．1
C．2
D．3
7．若3阶方阵A与对角阵=相似，则下列说法错误的是
A．|A|=0
B．|A+E|=0
C．A有三个线性无关特征向量
D．R(A)=2
8．齐次方程x1+x2-x3=0的基础解系所含向量个数是
A．0
B．1
C．2
D．3
9．若α=（1，1，t）与β=(1，1，1)正交，则t=
A．-2
B．-1
C．0
D．1
10．对称矩阵A=是
A．负定矩阵
B．正定矩阵
C．半正定矩阵
D．不定矩阵
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
11．设A、B均为三阶可逆方阵，且|A|=2，则|-2B-1A2B|=__________．
12．四阶行列式中项α21α32α13α44的符号为_____________．
13．设A=,则A-1=________________.
14．设A=，且R(A)=2，则t=_____________．
15．设三阶方阵A=[α1, α2, α3]，其中αi为A的3维列向量，且|A|=3，若B=[α1, α1+α2, α1+α2+α3]，则|B|=_________．
16．三元方程组的结构解是________．
17．设A=,则A的特征值是____________.
18．若三阶矩阵A的特征值分别为1,2,3，则|A+2E|=____________．
19.若A=与B=相似，则x=__________．
20．二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2+x3)2对应的对称矩阵是_________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21．计算四阶行列式.
22．设A=，B是三阶方阵，且满足AB-A2=B-E，求B．
23．求向量组的一个无关组，并把其余向量表示为这个无关组的线性组合．
24．设四元方程组，问t取何值时该方程组有解？并在有解时求其结构解．
25．已知A=的一个特征向量是=（1，1，-1）T
(1)求a，b；
(2)求A的全部特征值及特征向量．
26．求正交变换X=PY，化二次型f(xl,x2,x3)=-2x1x2+2x1x3+2x2x3为标准形．
四、证明题（本大题共1小题，6分）
27．设A为非零方阵，若存在正整数m，使Am=0，证明A必不能相似于对角矩阵．