第1个回答 2024-07-18
正定矩阵在数学中具有独特的性质，其判定方法主要基于特征值和主子式的分析。首先，一个矩阵A被称为正定的，当其所有特征值均为正数，这表明A对所有方向上的方向向量都产生了正的内积。反之，如果特征值全为负，矩阵则被认为是负定的。其次，通过计算A的主子式，如果所有阶数的主子式都大于零，也表明A是正定的，反之，奇数阶主子式为负，偶数阶为主子式为正，即为负定矩阵的特征。
半正定矩阵则是一种更为特殊的矩阵类型，它的重要特性是其行列式非负，这意味着矩阵的体积不会为负。此外，半正定矩阵的和仍然是半正定的，也就是说，两个半正定矩阵相加的结果仍保持着半正定性。再者，半正定矩阵还具备与非负实数相乘的结果依然保持半正定的性质。进一步，当我们讨论实对称矩阵A时，如果对于所有的非零实列向量x，其与A的内积xTAx总是大于或等于零，那么A就被定义为半正定矩阵，这种性质反映了矩阵对向量的“正导向”作用。