复变函数与积分变换

Question

为什么这样写

Answer 1

添加平面∑1：z＝h
(x^2+y^2≤h^2)，取上侧，则∑与∑1组成一个封闭曲面，方向是外侧，三个偏导数都是0，所以由高斯公式，积分是0。
所以，
∫∫(∑)(y^2-z)dydz+(z^2-x)dzdx+(x^2-y)dxdy
＝－∫∫(∑1)(y^2-z)dydz+(z^2-x)dzdx+(x^2-y)dxdy
＝－∫∫(∑1)(x^2-y)dxdy
＝－∫∫(d)(x^2－y)dxdy
∑1在xy面上的投影区域d：x^2+y^2≤h^2
＝－∫∫(d)
x^2
dxdy
＝－1/2
∫∫(d)
(x^2+y^2)dxdy
＝－1/2
∫0→2π
dθ
∫0→h
ρ^3
dρ＝－πh^4/4