请说明矩阵一定可逆的理由

Question

如题所述

Answer 1

矩阵可逆条件：AB=BA=E。

矩阵可逆的充分必要条件：AB=E；A为满秩矩阵（即r(A)=n）；A的特征值全不为0；A的行列式|A|≠0，也可表述为A不是奇异矩阵（即行列式为0的矩阵）。

A等价于n阶单位矩阵；A可表示成初等矩阵的乘积；齐次线性方程组AX=0 仅有零解；非齐次线性方程组AX=b 有唯一解；A的行（列）向量组线性无关；任一n维向量可由A的行（列）向量组线性表示。

相关定理

（1）逆矩阵的唯一性。

若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，并记作A的逆矩阵为A-1。

（2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是r(A)=m。

对n阶方阵A,若r(A)=n,则称A为满秩矩阵或非奇异矩阵。

（3）任何一个满秩矩阵都能通过有限次初等行变换化为单位矩阵。

推论满秩矩阵A的逆矩阵A可以表示成有限个初等矩阵的乘积。