第1个回答 2022-07-08
真分数与假分数的思考1
把5个月饼平均分给4个人，有三种分法。
分法一：一个饼、一个饼地分。最终每人得到5个1/4,也就是5/4个饼。（这种分法可以解决5÷4=5×1/4=5/4之类的计算转化）。这种分法是把“一个饼”看成“单位1”，可以与在数轴数数相联系。
分法二：把5个饼叠在一起，一次性平均分给4个人，每人得到5/4个饼。注意，这里会涉及到分数的量与率的区别。换言之。5/4个饼是具体的量，而5/4个饼这一份也可以看成是4份中的1份，在率的层面上来说是1/4。因此，教学时，部分还会在这里有混淆，应该是一个教学难点。这种分法是把“5个饼”看成“单位1”，5的1/4等于1的5/4。可以与除法直接建立联系。（假分数也应该从除法与分数之间的关系处得到才顺利……）
分法三：先分4个饼，每人一个；再分最后一个饼，每人1/4个，合起来就是1又1/4个饼。这种分法可以沟通假分数与带分数之间的联系。当然，教学时还要加强带分数与假分数之间互化时形式化的技能训练。这种分法我想应该是把4个饼与1个饼两次看成“单位1”.
对于真分数与假分数还有下面三点思考：
1、 从分数的初步认识教学中的分物时部分与整体之间的关系来理解真分数的含义。（取出其中的几份，就是几分之几。特例就是全部取完，得到假分数1。）
2、 从除法与分数之间的关系处或者分物时快速得到纯数学上的答案处来教学假分数。这类教学应该是整数除法中不能整除时或者说是有余数除法的另一种表达形式。这种表达形式可以用分数来呈现……
3、 沟通真分数与假分数之间的联系。还有，教材上说到的把一个饼看成单位1，两个饼合在一起涂了5份，最终表示成5/4的那副图,教师教学时最好要动态的一个饼、再一个饼出来，这样才符合孩子的认知思维规律。如果是静态显示出来的话，多数的孩子会认为是5/8。(我本人也很认可是5/8。)不过，教材有他的前提——把一个饼看成单位1。但是，即使是这样，部分孩子依然理解不了。怎么平均分成4分，居然可以取出5份来……
4、 最后，有一个大胆的想法。孩子会说到真分数在0到1之间，而假分数在1的后面（包过1）；那么，假分数一定比真分数多，而且多很多……
这个时候，可以同孩子们讲讲无限思维特点。比如：是单数多，还是自然数多呀？孩子会觉得自然数包含单数与双数，肯定是自然数多。这种想法在有限的思维这种是对的，比如：在100以内，自然数有100个，而单数有50个。但是，在无限的思维中，则一样多。
换言之，在有限中，整体一定大于部份；但是在无限中，部份可以等于整体。这种无限思维也可以解释为何直线与射线一样长这个让孩子们想不通的问题……
写这篇文稿的时候，我不由得想到了以前一个孩子写的数学日记《真分数与假分数》。这篇日记的大概意思是：
最开始的时候，人们由于测量或者分物无法获得正好是整数的结果，因此就产生了分数。这些分数，当时的人们是可以理解的，也是可以接受的。比如：把一个西瓜平均分成四份，取了其中的3份，就是¾。后来，有人把5个西瓜平均分成4个人，每人可以得到四分之五个西瓜。就出现了5/4这样让人在很难理解的分数，人们就不觉得这是分数，说是假的分数。但是，5个西瓜这样子分，又是可以的。最终，人们接受了这样的分数，假分数也是分数。
这篇数学日记有着孩子自己独特的思考以及部分的假设与推论。推论中，还是有些合理的成分的。由此，我又想到了——数学的发展有两条线，一条是实际生活的需要，一条是数学内部发展的需要。比如：乘法最原始的意义是几个相同加数的和的简便运算。但是，到了小数乘法，就解释不通了。由此就产生的更高层次的乘法模型～～～～