2016贺州)如图,在△ABC中,E是AC边上的一点,且AE=AB,∠BAC=2∠CBE,以AB为直径作⊙O交AC于点D,交BE于点F.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若AB=8,BC=6,求DE的长.
第二问不用相似来证明
(1)证明:
∵AE=AB,
∴∠AEB=∠ABE=1/2(180°-∠BAC)=90°-1/2∠BAC,
∵∠BAC=2∠CBE,
∴∠CBE=1/2∠BAC,
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=90°-1/2∠BAC+1/2∠BAC=90°,
∴BC是⊙O的切线。
(2)
∵∠BAC=90°,AB=8,BC=6,
∴AC=10(根据勾股定理),
∵BC是⊙O的切线,
∴BC²=DC×AC(切割线定理),
即36=DC×10,
∴DC=3.6,
∵AE=AB=8,
∴CE=AC-AE=10-8=2,
∴DE=CD-CE=3.6-2=1.6.