矩阵的秩与矩阵的转置矩阵的秩之间有什么关系吗？

如题所述

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第1个回答 2023-08-19

相等，因为A的秩为r，必有一个r阶的行列式不为0的矩阵，转置这个仍然是这个。

用A'表示A的转置，要证明r(A'A)=r(A),只需证明方程组AX=0和A'AX=0，同解，如果AX=0，两边分别左乘A'，得A'AX=0，这说明方程组AX=0的解都是方程组A'AX=0的解，另一方面如果A'AX=0，两边分别左乘X'，得X'A'AX=0，即(AX)'AX=0。

扩展资料：

注意事项：

如果A的列向量线性无关，则 T(A)*A得到一个可逆的方阵。

假设A是一个kxn的矩阵，那么T(A)*A是一个nxn的方阵，要证明这个方阵可逆，只要证明N(T(A)*A) = 零空间即可。

假设列向量向量V，满足 (T(A)*A) V = 0 => T(V)*T(A)*A*V = 0=> T(AV)*(A*V) = 0=> AV=0 A的零空间只包含零向量=>V = 0。

参考资料来源：百度百科-矩阵转置

参考资料来源：百度百科-矩阵的秩

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