第1个回答 2022-05-13
楼上那些自己不懂也敢误导人……贴个我以前的回答吧.
自然数到有理数有一一对应,所以是可数的.关键是构造正整数到(0,1)之间有理数的一一对应,之后就好办了.下面来看这个对应：把(0,1)之间所有有理数写成的既约分数,排列成：1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,3/5,4/5……排的规则是分母小的在前,分母一样的,分子小的在前.任意正整数k,k对应到上面排法中的第k个分数.由于任意给定的有理数化为既约分数的方法唯一确定,它在上面排法中的位置也是可以确定的(从头一个个排就好了),因此这个对应是一一对应.
自然数到实数不能建立一一对应,所以不可数.这个证法很多,说起来最简单的可能是Cantor的证明,其中用到了经典的对角线方法!兹证如下：假设能建立上述一一对应,(0,1]内的实数必然可以依某种顺序排成一列,记作a1,a2,…an.把它们化为十进制小数,有限小数一定要用那种无限的表达(这是为了保证化为无限小数方法的唯一性),比如1要写为0.999…0.1要写为0.0999….现在取一个(0,1]内的十进制小数a,使得a的小数点后第n位不是0,且与an的小数点后第n位不相同.这样构造出来的a属于(0,1],但a不是上述an中的任何一个(因为它与an的第n位不同,而且an小数点后每一位都不是0,不会出现0.1000…=0.0999…这种情况),这就导致矛盾!所以自然数到实数不能建立一一对应.
这些内容都可参看一般的《实变函数》课程教材.