因为二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)，。为什么这样就知道f（x）函数图像的对称轴是x=2

Question

如题所述

Answer 1

函数性质：若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则该函数关于直线x=(a+b)/2对称。

思路：证明f(x)图象关于直线x＝（a＋b）/2对称，
即证：在f(x)图象上任取一点（m，n），
证明该点关于直线x＝（a＋b）/2对称点仍在f(x)图象上，
由（m，n）在f(x)图象上得f(m)=n，
点（m，n）关于直线x＝（a＋b）/2对称点为（a+b-m，n），
用b-m代换f(a+x)=f(b-x)中的x得f（a+b-m）=f（b-（b-m））=f（m）=n，
即点（a+b-m，n）在f(x)图象上，问题得证.

上述是一般性的结论及证明过程，其实你这个问题在二次函数中，那就更简单了；
设f(x)=a(x-h)²+k
则f(2+x)=a(x+2-h)²+k，f(2-x)=a(2-x-h)²+k
a(x+2-h)²+k=a(2-x-h)²+k
(x+2-h)²=(2-x-h)²
x+2-h=2-x-h 或 x+2-h=x+h-2
x=0 h=2
舍去（不是对任意x成立）
所以对称轴为x=h=2

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

f(2+x)=f(2-x)
可以通俗地这样理解
因为2的右边的数的函数值和2的左边的数的函数值都相等。
2+x即2的右边，2-x即2的左边。

严格的说2+x不一定在2的右边，因为x有可能是负的，但这不影响实质。如果x是负的，-x就是正的。总之2+x和2-x总是在2的两边一左一右，离2的距离相等。追问

哦，我懂了，谢谢

追答

2的左右两边和2距离相等的那些数的函数值相等，那描点在图像上不就是关于x=2对称的吗？

比如2的左边是1，右边同样距离是3，他俩的函数值都是4的话，图像上相应的点，不就是

(1,4)和(3,4)，这两点就是关于x=2对称的。
图像上其它的点也是类似的。

Answer 3

严格的说2+x不一定在2的右边，因为x有可能是负的，但这不影响实质。如果x是负的，-x就是正的。总之2+x和2-x总是在2的两边一左一右，离2的距离相等。

Answer 4

因为(2+x+2-x )/2=2，也就是任意距离x=2相等的两点有相同的函数值，所以对称轴是x=2

Answer 5

对任何一个x，2＋x和2-x的中点都是2