实数包括0。
实数是有理数和无理数的总称,有理数包括0、正数、负数。所以实数包括0。数学上,实数定义为与数轴上的实数点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数,实数和数轴上的点一一对应。
实数可以分为有理数和无理数两类,或代数数和超越数两类。实数集通常用黑正体字母R表示。R表示n维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。
所有实数的集合则可称为实数系或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是惟一的,常用R表示。由于R是定义了算数运算的运算系统,故有实数系这个名称。
实数可以用来测量连续的量。理论上,任何实数都可以用无限小数的方式表示,小数点的右边是一个无穷的数列(可以是循环的,也可以是非循环的)。在实际运用中,实数经常被近似成一个有限小数(保留小数点后n位,n为正整数)。在计算机领域,由于计算机只能存储有限的小数位数,实数经常用浮点数来表示。
实数性质
1、封闭性
实数集对加、减、乘、除(除数不为零)四则运算具有封闭性,即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为零)仍然是实数。
2、有序性
实数集是有序的,即任意两个实数a、b必定满足并且只满足下列三个关系之一:a\u003eb,a\u003cb,a=b
3、传递性
实数大小具有传递性,即若a\u003eb,且b\u003ec,则有a\u003ec。
4、阿基米德性质
阿基米德性质是描述实数之间的大小关系的性质。它与柯西收敛准则共同描述了实数的连续性(即实数与数轴上的点一一对应)
5、稠密性
实数集具有稠密性,即两个不相等的实数之间必有另一个实数,既有有理数,也有无理数。
6、完备性
作为度量空间或一致空间,实数集合是个完备空间,它有以下性质:所有实数的柯西序列都有一个实数极限。;“完备的有序域”
7、与数轴对应
如果在一条直线(通常为水平直线)上确定点o作为原点,指定一个方向为正方向(通常把指向右的方向规定为正方向),并规定一个单位长度,则称此直线为数轴。任一实数都对应与数轴上的唯一一个点;反之,数轴上的每一个点也都唯一的表示一个实数。于是,实数集与数轴上的点有着一一对应的关系。