第1个回答 2012-08-07
高一物理必修二专题
（一）平抛运动
一、利用竖直分速度寻找时间
例：一个小球以初速度 水平抛出，落地速度为 ，空气阻力不计，求小球的起抛高度和水平位移。
分析：平抛运动竖直方向的分速度 与运动的时间有关，因此，可以考虑借助 求解运动的时间。
解：如图可得
而
则
所以 ，
说明：运动时间对平抛运动解决过程的重要性在本题中一目了然，只要找到平抛物体运动的时间，一切问题都能解决。
二、利用竖直位移寻找时间
例：已知排球场内网高 ，半场长 ，扣球点高 ，扣球点离网的水平距离为 ，求：水平扣球速度 的取值范围。
分析：本题中隐含了临界问题，排球作平抛运动的临界轨迹如图，水平位移决定于水平初速度和运动的时间，现在水平位移大小已知，要求水平扣球速度，应先找出排球在空中飞行的时间。
解：排球擦网而过时，设对应的水平初速度为
由 得：
则
排球恰好不出界时，设对应的初速度为
由 得：
则
所以水平扣球速度应满足
说明：平抛物体的运动时间决定于下落高度（即竖直位移大小），因此实际问题常常利用平抛运动的下落高度寻找物体运动的时间。
三、利用末速度方向寻找时间
例：如图，以 的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为 的斜面上，物体完成这段飞行的总位移是多少？
分析：物理学中，矢量的方向一般用角度定量描述。既然物体的末速度方向与斜面垂直，而斜面倾角是个已知量，那么末速度的方向也就已经明确。
解：如图，物体的末速度与水平方向的夹角为
又
则
所以
且 ，即 与水平方向成 角斜向右下方。
说明：该类型问题也可借助 先求出 ，再转化为第二类问题解决，但求解过程不如上述方法简单，尤其在 未知的情况下更是如此。另外，“ 反向延长交入射线于中点”是一个非常有用的结论，在一些复杂问题中加以使用会有很好的效果。
四、利用位移方向寻找时间
例：如图，AB为斜面，倾角为 ，小球从A点以初速度 水平抛出，恰好落到B点。求（l）AB间的距离；（2）物体在空中飞行的时间。
说明：小球运动的起点A．终点B均在斜面上，总位移就沿斜面方向，而斜面倾角已知，位移方向也成了已知量。
解：如图，小球的总位移与水平方向夹角为
又
则
所以
说明：借助已知角的正切求运动时间是寻找时间的一种有效方法，但使用时一定要看清已知角是速度矢量三角形的内角还是位移矢量三角形的内角，即表达式右侧到底是两个分速度之比，还是两个分位移之比。
综上所述，平抛运动的解题策略可以用一句话概括，那就是“在分解的前提下，利用 、 的大小或 、 的方向求解运动的时间”。不仅平抛运动可以如此处理，一切类平抛运动都可以这样处理。
五、变式练习
1．飞机距地面高 ，水平飞行速度为 ，追击一辆速度为 同向行驶的汽车，欲使投弹击中汽车，飞机应在距汽车多远处投弹？
2．如图所示，光滑斜面长为 ，宽为 ，倾角为 ，一物块沿斜面左上方顶点P水平射入，而从右下方顶点Q离开斜面，求入射的初速度。
3．作平抛运动的物体，在落地前的最后 内，其速度方向由跟竖直方向成 角变为跟竖直方向成 角，求：物体抛出时的速度和高度分别是多少？
4．如图所示，一个小球从楼梯顶部以 的水平速度抛出，所有的台阶都是高 ，宽 ，问小球从楼梯顶部抛出后首先撞到哪一级台阶上？
5．如图所示，一高度 的水平面在A点处与一倾角 的斜面连接，一小球以 的速度在水平面上向右运动。求小球从A点运动到地面所需的时间（平面与斜面均光滑，取 ）。
某同学对此题的解法为：小球沿斜面运动，则 由此可求得落地的时间t。问：你同意上述解法吗？若同意，求出所需的时间；若不同意，则说明理由并求出你认为正确的结果。
变式练习答案：
1．答案：
2．答案：
3．答案： ；
4．答案：第3级
5．答案：不同意；
（二）变力做功问题的解法
高中物理教材利用恒力对物体做功的物理模型推导出功的计算式 。如果力的大小是变化的，那么公式中的F就无法取值；如果力的方向是变化的，公式中 角就无法取值。因此其公式仅适用于恒力做功过程，而对于变力做功问题又经常出现，那我们该如何求解呢？本文现就计算变力所做功的方法及到底采用哪种方法进行求解作如下阐述。
一、将变力处理成恒力
将变力处理成恒力的方法，一般只在力的大小一直不变，而力的方向遵循某种规律的时候才用。
例1 如图1所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F，方向始终与磨杆垂直的力推磨。假设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功？
解析：由于力F方向不断变化，因此是一个变力做功问题，如果将推力作点的轨迹分成无限多小段 ，每一段曲线近似为直线，力F的方向也近似与这一小段的轨迹重合，则每小段均可看作恒力做功过程。
运用恒力作功的计算式求出各小段推力做的功： ．
则转动一周过程中推力做的功： 。
二、力的平均值法
通过求力的平均值，然后求变力的平均力做功的方法，一般是用于力的大小与位移成一维线性关系的直线运动中。
例2 如图2所示，劲度系数为 的轻质弹簧一端固定在墙上，另一端连接一质量为 的滑块，静止在光滑水平面上O点处，现将滑块从位置O拉到最大位移 处由静止释放，滑块向左运动了s米（ ）．求释放滑块后弹簧弹力所做的功。
解析：弹簧对滑块的弹力与弹簧的形变量成正比，求出弹力的平均值为：
用力的平均值乘以位移即得到变力的功： 。
三、动能定理法
动能定理求变力的功是非常方便的，但是必须知道始末两个状态的物体的速度，以及在中间过程中分别有那些力对物体做功，各做了多少功。
例3 如图3所示，质量为 的物块与转台之间能出现的最大静摩擦力为物块重力的 倍，它与转轴 相距R，物体随转台由静止开始转动，当转速增加到一定值时，物块开始在转台上滑动，在物块由静止到开始滑动前的这一过程中，转台对物块做的功为多少？
解析：由题意知物块即将滑动时受到的摩擦力为 ，设此时物块运动的速度为 ，则有 ，于是有 。由动能定理知，从静止到开始滑动前这段时间内转台对物块做功为： 。
四、功能原理法
除系统内的重力和弹簧弹力之外，其它力做的功等于系统机械能的增量，即 。
例4 如图4所示，一质量均匀的不可伸长的绳索重为G，A、B两端固定在天花板上，今在最低点C施加一竖直向下的力将绳拉至D点，在此过程中，绳索AB的重心位置将（ ）
A．逐渐升高
B．逐渐降低
C．先降低后升高
D．始终不变
解析：在C点施加的竖直向下的力做了多少功，就有多少其它能转化为绳的机械能。由于 ， ，而 ，所以 ，即绳的重力势能增加，得知绳重心升高。
五、图象
表示力随位移变化规律的图象叫做示功图。其纵坐标轴表示作用在物体上的力F，横坐标轴表示力的作用点在力的方向上的位移s。图象、力轴、位移和由位移决定的与力轴平行的直线所围成的面积在数值上等于变力所做的功。
例5 如图5所示，一个劲度系数为 的轻弹簧，一端固定在墙壁上，在另一端沿弹簧的轴线施一水平力将弹簧拉长，求在弹簧由原长开始到伸长量为x1过程中拉力所做的功。如果继续拉弹簧，在弹簧的伸长量由x1增大到x2的过程中，拉力又做了多少功？
解析：在拉弹簧的过程中，拉力的大小始终等于弹簧弹力的大小，根据胡克定律可知，拉力与拉力的作用点的位移x（等于弹簧的伸长量）成正比，即：F=kx
F-x关系图象如图6所示，由图可知△AOx1的面积在数值上等于把弹簧拉伸x1的过程中拉力所做的功，即
梯形Ax1x2B的面积在数值上等于弹簧伸长量由x1增大到x2过程中拉力所做的功，即
六、运用 求解
当机车以恒定功率工作时，在时间 内，牵引力做的功 。
例6 电动机通过一绳吊起一质量为8kg的物体，绳的拉力不能超过120N，电动机的功率不能超过1200W，要将此物体由静止起，用最快的方式吊高90m所需时间为多少（已知此物体在被吊高达90m时开始以最大速度匀速上升）？
解析：本题可分为两个过程来处理，第一个过程是以绳所能承受的最大拉力拉物体，使物体匀加速上升，第一个过程结束时，电动机的功率刚达到最大功率．第二个过程是电动机一直以最大功率拉物体，拉力逐渐减小，物体变加速上升，当拉力减小至等于重力时，物体开始匀速上升。
在匀加速运动过程中，加速度： ，末速度： ，上升时间： ，上升高度：
在功率恒定的上升过程中，设经h2后，达匀速运动的速度： ，此过程中外力对物体做的总功 ，由动能定理 得： ，其中h2=H-h1=80m
解得
所需时间最小应为：
（三）竖直平面内的圆周运动
一般是变速圆周运动(带电粒子在匀强磁场中运动除外)，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置──最高点和最低点。
一、两类模型——轻绳类和轻杆类
1．轻绳类。运动质点在一轻绳的作用下绕中心点作变速圆周运动。由于绳子只能提供拉力而不能提供支持力，质点在最高点所受的合力不能为零，合力的最小值是物体的重力。所以：（1）质点过最高点的临界条件：质点达最高点时绳子的拉力刚好为零，质点在最高点的向心力全部由质点的重力来提供，这时有 ，式中的 是小球通过最高点的最小速度，叫临界速度；（2）质点能通过最高点的条件是 ；（3）当质点的速度小于这一值时，质点运动不到最高点高作抛体运动了；（4）在只有重力做功的情况下，质点在最低点的速度不得小于 ，质点才能运动过最高点；（5）过最高点的最小向心加速度 。
2．轻杆类。运动质点在一轻杆的作用下，绕中心点作变速圆周运动，由于轻杆能对质点提供支持力和拉力，所以质点过最高点时受的合力可以为零，质点在最高点可以处于平衡状态。所以质点过最高点的最小速度为零，（1）当 时，轻杆对质点有竖直向上的支持力，其大小等于质点的重力，即 ；（2）当 时， ；（3）当 ，质点的重力不足以提供向心力，杆对质点有指向圆心的拉力；且拉力随速度的增大而增大；（4）当 时，质点的重力大于其所需的向心力，轻杆对质点的竖直向上的支持力，支持力随 的增大而减小， ；（5）质点在只有重力做功的情况下，最低点的速度 ，才能运动到最高点。过最高点的最小向心加速度 。
过最低点时，轻杆和轻绳都只能提供拉力，向心力的表达式相同，即 ，向心加速度的表达式也相同，即 。质点能在竖直平面内做圆周运动（轻绳或轻杆）最高点的向心力 最低点的向心力 ，由机械能守恒 ，质点运动到最低点和最高点的向心力之差 ，向心加速度大小之差也等于 。
二、可化为这两类模型的圆周运动
竖直平面内的圆周运动一般可以划分为这两类，竖直（光滑）圆弧内侧的圆周运动，水流星的运动，过山车运动等，可化为竖直平面内轻绳类圆周运动；汽车过凸形拱桥，小球在竖直平面内的（光滑）圆环内运动，小球套在竖直圆环上的运动等，可化为轻竖直平面内轻杆类圆周运动。
三、水流星运动中过最高点的速度和水不流出速度的区别
水流星是一种杂技表演，表演者在两个碗里装上水，用绳子系住碗，然后在竖直平面内舞动，碗中的水和碗一起作圆周运动，水不从碗中流出来。水流星在竖直平面内作圆周运动过最高点的临界条件是满足轻绳类圆周运动，很多参考书就把这个速度当作是水不流出的最小速度，其实这种理解是不正确的。我们不能把这当作是水不流出的条件，这是因为当 不但水不能做圆周运动，碗也不能做圆周运动，即是 ，当碗运动到最高点之前就做斜抛运动了，碗中的水也随之作斜抛运动，在斜抛运动中，水和碗都处于完全失重状态，水也不从碗中流出。所以不能把 当作是水不流出的条件。
四、例子讲解
例1（07年全国2）如图所示，位于竖直平面内的光滑有轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg（g为重力加速度）。求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围。
解：设物块在圆形轨道最高点的速度为v，由机械能守恒定律得
mgh＝2mgR＋ mv2 ①
物块在最高点受的力为重力mg、轨道的压力N。重力与压力的合力提供向心力，有
mg＋N＝m ②
物块能通过最高点的条件是
N≥0 ③
由②③式得
V≥ ④
由①④式得
H≥2．5R ⑤
按题的需求，N＝5mg，由②式得
V＜ ⑥
由①⑥式得
h≤5R ⑦
h的取值范围是2．5R≤h≤5R
例2 如图所示光滑管形圆轨道半径为R（管径远小于R）固定，小球a、b大小相同，质量相同，均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动．两球先后以相同速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法正确的是（ ）
A．速度v至少为 ，才能使两球在管内做圆周运动
B．当v= 时，小球b在轨道最高点对轨道无压力
C．当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所需向心力大5mg
D．只要v≥ ，小球a对轨道最低点压力比小球b对轨道最高点压力都大6mg
解：内管可以对小球提供支持力，可化为轻杆模型，在最高点时，小球速度可以为零，由机械能守恒知 得 ，所以A错， 得 ，此时 即重力刚好能提供向心力，小球对轨道无压力。最低点时的向心力为5mg，向心力相差4倍，B对，C错，最高点 ，最低点
由机械能守恒有 ，所以 ，D对。
例3（06重庆）如图，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内。小球A、B质量分别为m、βm（β为待定系数）。A球从工边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B球相撞，碰撞后A、B球能达到的最大高度均为 ，碰撞中无机械能损失。重力加速度为g。试求：
（1）待定系数β；
（2）第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力；
（3）小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度。
解：（1）由mgR＝ + 得β＝3
（2）设A、B碰撞后的速度分别为v1、v2，则
设向右为正、向左为负，解得
v1＝ ，方向向左 v2＝ ，方向向右
设轨道对B球的支持力为N，B球对轨道的压力为N /，方向竖直向上为正、向下为则 N－βmg＝ N /＝－N＝－4．5mg，方向竖直向下。
（3）设A、B球第二次碰撞刚结束时的速度分别为V1．V2，则
解得：V1＝－ ，V2＝0
（另一组：V1＝－v1，V2＝－v2，不合题意，舍去）
由此可得：
当n为奇数时，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与第一次碰撞刚结束时相同
当n为偶数时，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与第二次碰撞刚结束时相同。
（四）人造地球卫星运行问题的几个原则
人造地球卫星的运行问题的分析和求解，需综合运用万有引力定律、牛顿第二定律等力学规律及方法，分析与求解人造地球卫星运行类问题遵从以下几个原则。
1．轨道球心同面原则
轨道球心同面原则，是说人造地球卫星的运行轨道平面必通过地球球心。设想有一人造地球卫星的运行轨道不通过地心，而仅垂直于地轴，如图1所示。则卫星将在地球对其的万有引力F的分量F2作用下绕地轴做圆周运动；同时在F的分量F1的作用下在地球赤道平面上下振动。这样，这个卫星的运行轨道将成为螺旋线，而不是圆形轨道了，这样的轨道显然是不存在的。
各种人造地球卫星的运行轨道，不论是圆还是椭圆，其轨道平面一定通过地球球心，不存在轨道平面不通过地球球心的运行轨道。但轨道平面不一定都要与赤道平面重合，目前常见的有与赤道平面重合的赤道轨道，若轨道上运行的卫星的周期与地球自转周期相同，卫星相对地面静止，这种卫星主要用于通讯；有轨道平面与赤道平面垂直且经过两极的极地轨道，卫星在绕地球圆周运行的同时还沿地球自转方向从西向东转动，其周期等于地球公转周期，所以这种轨道也称太阳同步轨道；还有轨道平面既不与赤道平面重合也不垂直的轨道的倾斜轨道。
2．轨道决定一切原则
设地球质量为M、半径为R，一质量为m的人造地球卫星在距地面h高度的轨道上做圆周运动，向心加速度为A、线速度为v、角速度为ω、周期为T。由牛顿第二定律和万有引力定律有： 或 ，而 、 。解以上几式得：
， ， ， 。
由此结果可以看出，影响卫星运动情况的与卫星有关的参数中仅仅是卫星的轨道半径。
3．速度影响轨道原则
在某确定轨道（半径一定）上圆周运动的卫星，由于某种原因的影响，若速度为生了变化，由基本关系式 可以得出： 。由此知，轨道半径随卫星运行速度的增大而减小，这一过程中引力对卫星做正功，又使卫星的速度增大；随卫星运行速度的减小而增大，这一过程中引力对卫星做负功，又使卫星速度减小，直到在新的轨道上以新的速度运行，此时又有 。
4．近地卫星五最原则
所谓近地卫星，是指在距地面的高度远小于地球半径轨道上运行的卫星，此时R>>h，h≈0。在“2”中得出的几个结果中，令h=0得人造地球卫星的几个极值是：
向心加速度最大： （g为地面的重力加速度）
向心力最大：
环绕速度最大：
角速度最大：
运行周期最小：
5．同步通讯卫星五定原则
同步通讯卫星的轨道平面与地球的赤道平面重合，卫星相对于地面静止，其周期与地球自转周期相等，即T=24h，将T值代入“2”中各结论表达式可得：
， ， ， ，再加上 共有五个确定值。
6．加速度相切相同原则
人造地球卫星发射时一般经历三个阶段，先将其发射至距地球较近的环绕轨道1上，使卫星环绕地球做圆周运动。在适当的位置，如Q点改变卫星运行的切向速度大小，使其改变轨道绕地球做椭圆轨道2（转移轨道）运行，再在椭圆轨道的远地点P改变卫星运行的切向速度，使其在距地面较远的轨道3（运行轨道）上绕地球做圆周运动，如图2所示。
在两轨道的相切处如图2中的Q、P两点，两次离地心距离相等，由万有引力定律及牛顿第二定律可知卫星在两个轨道上运行经过两轨道相切点时的向心加速度相同。
7．速度近大远小原则
行星绕太阳的运动轨迹一般是椭圆，卫星发射时在转移轨道的运动轨迹也是椭圆，太阳（或地球）处在椭圆的一个焦点上，当行星（或卫星）由近日（地）点向远日（地）点运动时，万有引力做负功，动能减小，速度减小，远日（地）点速度最小；当行星（或卫星）由远日（地）点向近日（地）点运动时，万有引力做正功，动能增大，速度增大，近日（地）点速度最大。
8．能量定比原则
卫星运行的动能计算：设卫星质量为m、轨道半径为r，由 及 得，卫星的动能为：
卫星势能的计算：由库仑定律 及电势的定义可得点电荷Q电场中的电势为： 。与此类似，可由万有引力定律 得地球引力场中的“引力势”为： 。类似电荷在点电荷电场中某点电势能的计算，可得质量为m的卫星在距地心r处的引力势能为： 。
卫星的机械能为： 。
则： ∶ ∶ =1∶-2∶-1，利用这一比例关系，只要知道任一种能量，就可以算出另两种能量。
9．发射能量最小原则
发射环绕速度为 的近地卫星，所需发射能量最小。
在赤道上，沿地球自转方向发射卫星，可以充分利用地球自转速度，减少发射能量。从理论上讲，这样发射卫星所需最小能量为： 。
（五）机械能守恒定律的拓展
随着学习的深入，机械能守恒定律的内容和深度在不断的拓展，由最初的物体在只有重力做功情况下的机械能守恒，拓展到含有弹簧的系统机械能守恒，以及多物体的系统机械能守恒问题。
机械能守恒定律的条件拓展为：系统内各物体间发生动能、重力势能、弹性势能的相互转移或转化，而没有转化为其他形式的能量时，系统的机械能就守恒。
二、机械能守恒定律的表达式
随着机械能守恒定律的拓展，可以从三个角度用方程表达机械能守恒定律。
1．从守恒的角度
选取某一平面为零势能面，如果含有弹簧则弹簧处于原长时弹性势能为零，系统末状态的机械能和初状态的机械能相等。
Ek末+Ep末= Ek初+Ep初
2．从能量转化的角度
系统的动能和势能发生相互转化时，若系统势能的减少量等于系统动能的增加量，系统机械能守恒。
ΔEp减=ΔEk增
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