数学 证明:对角线互相垂直的四边形的各边的中点在同一个圆上

Question

如题所述

Answer 1

启东上的题吧！
证明：
∵对角线互相垂直
∴四边形应为菱形
又∵菱形四边相等
∴圆点到各边的中点距离相等（圆半径相等）
∴对角线互相垂直的四边形的各边的中点在同一个圆上

Answer 2

设有四边形ABCD，其对角线　AC
⊥
BD。
求证：四边形ABCD各边中点在同一圆上。
证明：设点
E、F、G、H分别为线段AB、BC、CD、DA的中点。连接线段EF、FG、GH、HA。
　　1、观察△ABD，可知线段
EH
即为△ABC的中位线，所以：
　　①　EH
∥且＝
½BD；
　　同理，可证明：
　　②　FG
∥且＝
½BD；
　　③　EF
∥且＝
½AC；
　　由　①、②　得：
　　EH
∥且＝
FG；
　　∴④　四边形
EFGH
为平行四边形；
　　2、已知：
　　⑤　AC
⊥
BD；
　　由　①、③、⑤　得：
　　⑥　EH
⊥
EF，即∠HEF
=
90°；
　　由　④、⑥　得：
　　四边形　EFGH
为矩形；
　　显然，矩形的四个顶点必然位于一个圆上（①　矩形对角线等长且相互平分；②　到同一点距离相等且不为零的点共圆）。
　　命题证毕。