设矩阵A=[1b1,ba1,111], B=[000,010,004],且A与B相似，求a,b

Question

如题所述

Answer 1

设矩阵A=[1b1,ba1,111], B=[000,010,004],且A与B相似，求a,b
解法一:
矩阵相似,等价于特征多项式相同,从而特征值相同.
所以A有三个特征值0,1,4, 即|A|=|A-E|=|A-4E|=0
|A|=0,作消法变换(行1-行3)得下面的矩阵的行列式为0
0 b-1 0
b a 1
1 1 1
即-(b-1)²=0,于是b=1
|A-E|=0即下面矩阵的行列式为0
0 b 1
b a-1 1
1 1 0
即-b(0-1)+(0-1)=0,仍得b=1
|A-4E|=0即下面矩阵的行列式为0
-3 b 1
b a-4 1
1 1 -3
作消法变换[行1+3*行3]得
0 b+3 -8
b a-4 1
1 1 -3
于是-(b+3)(-3b-1)-8(b-a+4)=0,即-4*(-4)-8(5-a)=0,a=3
注：这个行列式的计算,可能还有简便方案.例如上面已算得b值,代入后再作变换.也还可能有别的简算方案。此外, 注意A是对称矩阵.A=A',可能也能用于简算.
综上,b=1, a=3

解法二:
矩阵相似,等价于特征多项式相同,从而特征值相同.
故可以计算A的特征多项式,将B的特征值0,1,4代入使多项式值为0,得到方程组,解之.
注意用此方法时，不必对多项式进行过于化简，因为目的在于求系数。

解法三:
矩阵相似,等价于特征多项式相同
故可以计算A的特征多项式,与B的特征多项式比较系数.

Answer 2

【我刚知道推荐答案与团队关系不大，误会WskTuuYtyh了，抱歉！大家都是本着帮助别人的目的，出发点都是好的，只是有时自己用心写的答案不被采纳感觉挺憋屈。回复WskTuuYtyh的言语有点过激了，多谢海涵！我还有很多需要学习的地方，希望以后能向更强的人学习！】

这应该是大学代数题吧。首先我告诉你，一楼的结果是错的。正确答案是a=3,b=1,这个结果是matlab算出来的，并通过了验证。
接下来说下思路：如果A和B相似，可以推出这样两条结论：
1.A和B的特征多项式相同 （也即系数相同）
2.A和B特征值相同。
如果楼主会求特征多项式或特征值，那这个题手算就能解决了。
当然，对于大学生来说，什么东西都靠手算就太原始了，那是高中生做的事情。要学会借助工具，比如matlab。
程序如下（思路采用的是上面第一条结论）：
syms a b %定义符号变量
A=[0 0 0;0 1 0;0 0 4];
f1=poly(A); %求特征多项式
f1
B=[1 b 1;b a 1;1 1 1];
f2=poly(B);
f2
上面这段程序是求出了A和B的特征多项式，结果如下：
f1 =[1 -5 4 0](特征多项式系数，从左到右降幂排列).
f2 =b^2 - x*(b^2 - 2*a + 1) - 2*b + x^3 - x^2*(a + 2) + 1（X是特征值）
另f1和f2的系数相等，手算能算出a、b值。
当然，借助matlab也可以算出来，程序如下：
eq1='a+2-5'; %令二次项前面系数相等
eq2='b^2-2*a+1+4';%令一次项前面系数相等
eq3='b^2-2*b+1';%令常数项相等
s=solve(eq1,eq2,eq3,a,b);
a=s.a
b=s.b
结果如下：
a =3，b = 1；
当我发现上面的结果跟一楼算得不一样时，我又用第二条结论——特征值相同进行了验算，
程序如下：
A=[0 0 0;0 1 0;0 0 4];
eig(A) %求特征值
B=[1 1 1;1 3 1;1 1 1];
eig(B)
结果如下：
ans = 0 1 4
ans = -0.0000 1.0000 4.0000
至于两者结果有效位数不一样，那是因为前面程序里B是符号矩阵。如果楼主介意结果，可以在前面加clear all,将变量历史记录清除。结果是一样的。

Answer 3

B有三个特征值0,1,4，A与B相似,所以A有三个特征值0,1,4，即|A|=|A-E|=|A-4E|=0
| 1 b 1 | | 0 b-1 0 |
|A|=| b a 1 | = | b-1 a-1 0 | =-(b-1)²=0 所以b=1
| 1 1 1 | | 1 1 1 |

| 1-1 1 1 | | 0 1 1 | | 0 1 1|
|A-E|=| b a-1 1 | = | 1 a-1 1 | =|0 a-2 1|=3-a=0 所以a=3
| 1 1 1-1 | | 1 1 0 | | 1 1 0|
验算
| 1-4 1 1 | | -3 1 1 | | 0 4 -8|
|A-4E |=| 1 3-4 1 | = | 1 -1 1 | = | 0 -2 4 | =4*4-2*8=0
| 1 1 1-4 | | 1 1 -3| | 1 1 -3|

a=3,b=1