设五阶行列式D=|aij|=6,且D中各列元素之和均为2,记元素aij的代数余子式为Aij,求ZZ

Question

设五阶行列式D=|aij|=6,且D中各列元素之和均为2,记元素aij的代数余子式为Aij,求ZZAij

Answer 1

问题ZZ是要求Aij的和吗？
解: 记 A = (aji)
则 |A|=D^T=D=6
且 |A|的所有元素的代数余子式之和即为所求.

由于D中各列元素之和均为2
所以A的行和均为2
所以 A(1,1,1,1,1)^T=(2,2,2,2,2)^T.

等式两边左乘A*得 A*A(1,1,1,1,1)^T=A*(2,2,2,2,2)^T=2A*(1,1,1,1,1)^T
由 A*A=|A|E=6E得 6(1,1,1,1,1)^T=2A*(1,1,1,1,1)^T
所以有 A*(1,1,1,1,1)^T=(3,3,3,3,3)^T.
即 A* 的行和均为3.
所以 |A|的所有元素的代数余子式之和为 3x5 = 15.