用圆规和直尺在圆内画正十边形

Question

如题所述

Answer 1

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问题描述:

不能用画两个五边形的方法

解析:

思路：

若已知圆内接五边形画法，则再作圆周角平分线就得到剩下的顶点。

不借助五边形，可由勾股定理或三角函数算出正十边形边长和圆半径关系，然后以半径为单位长，做出这个边长来。在圆上截十段即可。

事实上，这就是用尺轨在做代数问题。

另外，画五边形也不见得更容易，方法是一致的。

十边形边长a可以构造相似三角形用勾股定理计算（我认为比较好)。

也可使用余弦定理：

r^2 + r^2 - 2 * r * r * Cos36° = a^2

所以

a = r * √(2 - 2 * Cos36°)

不过这里Cos36°需要用一些技巧计算出来根式形式。

也就是用三角恒等变形把Cos36°写成方程，再解出方程的根。

我省略计算过程，结果a是个熟悉的数：黄金分割比。

a = r * (√5 - 1) / 2

好了，只要作一个直角边长为r/2和r的直角三角形，斜边长就是r * √5 / 2。再截去r / 2即可。于是我们就作出了十边形边长，十边形随之就得到了。