证明如下：
可逆矩阵U可写成n个初等矩阵乘积的形式，也就是说若矩阵A相似于矩阵B，A=U的逆矩阵乘以B乘以U；相当于是对B进行初等行变换和初等列变换，从而得到A。根据初等行、列变换不改变矩阵的秩，所以相似矩阵的秩相等。
相似矩阵的性质：
1、两者的秩相等；
2、两者的行列式值相等；
3、两者的迹数相等；
4、两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同；
5、两者拥有同样的特征多项式。
扩展资料：
判断两个矩阵是否相似的辅助方法：
1、判断特征值是否相等；
2、判断行列式是否相等；
3、判断迹是否相等；
4、判断秩是否相等。
参考资料来源：百度百科-相似矩阵