一道椭圆的问题

Question

椭圆x²/16+y²/4=1的左右焦点为F1、F2，P在直线x-√3y+8+2√3=0运动。当∠F1PF2取得最大值时，求丨PF1丨/丨PF2丨的值

Answer 1

分析：先根据椭圆x^2/16+y^2/4=1的方程得出其左右焦点分别为F1（-2根号3，0）、与F2（2根号3，0）．
根据平面几何知识知，当∠F1PF2取最大值时，经过F1与F2的圆与直线l 相切，求出圆心坐标，再利用相似三角形的知识得出|PF 1|/|PF 2|=PB/BF= 2，最后利用相似比即可求出答案．
解：根据方程，椭圆的左右焦点分别为F1（-2根号3，0）、与F2（2根号3，0）．。 当∠F1PF2取最大值时，经过F1与F2，的圆与直线l 相切，此时圆心在y轴上，坐标为A（0，2），
在直线l：x-根号3y+8+2根号3=0中令y=0得B的坐标：
B（-8-2根号3，0），
在三角形BPF1和三角形BF2P中，∠BPF1=∠BF2P，
∴△BPF1∽△BF2P，
∴|PF 1|/|PF 2|=PB/BF =2=根号(AB^ 2-PA ^2)/(BO+OF2)=根号（3）-1．
故答案为：根号（3）-1．