抛物线方程证明

Question

抛物线证明,方程
抛物线Y2=2px(p>0)上有两个动点A、B及一个定点M,.F为焦点,若|AF|、|MF|、|BF|成等差数列.
（1）证线段AB的垂直平分线过定点Q
（2）若|MF|=4,|OQ|=6求抛物线方程

Answer 1

（1）证：设定点M坐标为(m,n),动点A坐标(x1,y1),B坐标(x2,y2)
抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离,即：
|AF|=x1+ p/2,|MF|=m+ p/2,|BF|=x2+ p/2
由|AF|、|MF|、|BF|三者成等差数列可知,|AF|+|BF|=2|MF|,即：
x1+ p/2 + x2+ p/2=2(m+ p/2）,化简得m=(x1+x2)/2
A、B两点在抛物线上,∴y1?=2px1,y2?=2px2
两式相减得到：(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2)
∴AB斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)=2p/(y1+y2)
线段AB的垂直平分线满足：垂直于AB且过AB中点[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]
AB垂直平分线方程为
y=-[(y1+y2)/2p][x-(x1+x2)/2]+ (y1+y2)/2
=-[(y1+y2)/2p](x-m-p)
此直线必过定点Q(m+p,0)
|MF|=m+ p/2=4,|OQ|=m+p=6 两式联立解得：p=4,m=2
所以抛物线的方程为y?=8x