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如何用行列式计算矩阵的特征值和特征向量?
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第1个回答 2023-01-23
(A*)A=|A|E
同取行列式
|(A*)A|=||A|E|
|(A*)|*|A|=||A|E|=|A|^3
|A*|=|A|^2=(-1*1*2)^2=4
|A^2-2A+E|=|(A-E)^2|=|A-E|^2
A-E的特征值是:-2,0,1
所以|A-E|=0
|A^2-2A+E|=0
第2个回答 2023-05-18
设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵,如果存在数 $\\lambda$ 和 $n$ 维非零向量 $\\boldsymbol{x}$,使得 $A\\boldsymbol{x}=\\lambda\\boldsymbol{x}$,则称 $\\lambda$ 是 $A$ 的特征值,$\\boldsymbol{x}$ 是相应的特征向量。对于方阵 $A$,其特征值和特征向量可以通过求解以下方程得到:$$|A-\\lambda I|=0$$其中 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵,$|A-\\lambda I|$ 表示矩阵 $A-\\lambda I$ 的行列式。上述方程的解即为 $A$ 的特征值。求出特征值后,将其代入下列方程组中,求解出相应的特征向量:$$(A-\\lambda I)\\boldsymbol{x}=0$$其中 $\\boldsymbol{x}$ 是 $n$ 维列向量。注意:若有多个同样的特征值,则该特征值对应的特征向量并不唯一。综上,我们可以通过行列式方法求解矩阵的特征值和特征向量。
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